Вопрос. Достаточное условие возрастания функции

Достаточное условие возрастания функции

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)>0, то функция f(x) возрастает на этом интервале.

Достаточное условие убывания функции.

Если в каждой точке интервала (a, b) f'(x)<0, то функция f(x) убывает на этом интервале.

Определение:

x₀ называется критической точкой функции f(x), если

1) x₀ – внутренняя точка области определения f(x);

2) f'(x₀)=0 или f'(x₀) не существует.

Необходимое условие экстремума:

Если x₀– точка экстремума функции f(x), то эта точка является критической точкой данной функции.

Достаточное условие экстремума:

Если при переходе через точку x₀ производная функции меняет знак, то x₀ – точка экстремума функции f(x).

Примеры экстремумов:

Схема исследования функции.

1. Найти область определения функции.

2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.

3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две три дополнительные точки.

4. Найти производную функции и ее критические точки.

5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b].

1. Найти значения функции в концах отрезка, т.е. f(a) и f(b);

2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a,b);

3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.