Вопрос. Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x1 и x2 из этого отрезка

Непрерывная на отрезке [ a; b ] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x ₁ и x ₂ из этого отрезка

График 3.2.3.1. Выпуклая вверх функция

Другими словами, если для любых точек x ₁ и x ₂ отрезка [ a; b ] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [ a; b ] функция f (x) выпукла вверх, если для любого

Дважды дифференцируемая на [ a; b ] функция f (x) выпукла вниз, если для любого

Так, вторая производная функции равна откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то