Формула полной вероятности. Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1,В2,

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B ₁ ,В ₂ ,..., В_п, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р (A) = Р (B ₁) (А) + P (В ₂) (А) +... +Р (В_п) (А).

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий B ₁ ,В ₂ ,..., В_п. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В ₁ А, В ₂ А,..., В_пА, Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим

P (A) =P (В ₁ А) +P (В ₂ А) +…+P (В_пА). (*)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

Р (В ₁ А) = Р (В ₁) (А); Р (В ₂ А) = Р (В ₂) (А) ;...;

Р (В_nА) = Р (В_n) (А).

Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности

P (A) = Р (В ₁) (А) + Р (В ₂) (А) +…+ Р (В_n) (А).

Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго—0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная.

Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна».

Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие В ₁), либо из второго (событие В ₂).

Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, Р (В ₁) = 1 / 2.

Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, Р (В ₂) = 1 / 2.

Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, (А) = 0,8.

Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь (A) = 0, 9.

Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь — стандартная, по формуле полной вероятности равна

Р (А) = Р (В ₁) (А) + Р (В ₂) (А) = 0, 5 * 0, 8 + 0, 5 * 0, 9 = 0, 85.