Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могутпоявиться п событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

-Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А ₁, А ₂,..., А_п, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

Доказательство. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А ₁, А ₂,..., А_п, События А и (ни одно из событий не наступило) противоположны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

P (A) +P () = 1.

Отсюда, пользуясь теоремой умножения, получим

P (A) = 1- P () = 1 -P ( ) P ( ) …P (),

или

P (A) = 1 — q ₁ q ₂ ... q_n.

Частный случай. Если события А ₁, А ₂,..., А_п, имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = 1 -qⁿ. (**)

Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р ₁ = 0,8; р ₁ = О, 7; р ₃ = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий независит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А ₁ (попадание первого орудия), А ₂ (попадание второго орудия) и А ₃ (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А ₁, А ₂, А ₃, (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

q ₁ = 1 -p ₁ = 1 — 0, 8 = 0, 2; q ₂ = 1 -p ₂ = 1 - 0, 7 = 0, 3;

q ₃ = 1 -р ₃ = 1 - 0, 9 = 0, 1.

Искомая вероятность

Р (A) = 1 — q ₁ q ₂ q ₃ = 1 — 0,2• 0,3• 0,1 = 0,994.