Формула Ньютона – Лейбница

Если функция f (x) интегрируема на [ a; b ], то для любого существует интеграл

который называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если функция f интегрируема на [ a; b ], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [ a; b ] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в причем

Если функция f непрерывна на [ a; b ], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида

где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [ a; b ] удовлетворяет этой формуле.

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:

Пусть функция f (x) непрерывна на [ a; b ], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [ a; b ], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [ a; b ] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

41. Замена переменной. Пусть функция переводящая непрерывно дифференцируема на Тогда справедлива формула

По свойству инвариантности формы определенного интеграла

где F(x) — первообразная для (х)

Пример:

2. Интегрирование по частям. Формула

следует из формулы интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Пример: