Первая формула среднего значения в обобщенной форме

Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b], и , а g(x) > 0 для любого значения аргумента . Тогда существует такое число , что .

11. Вторая формула среднего значения.

Если на отрезке [a; b] функция y = f(x) интегрируема, а y = g(x) монотонна, то существует такое число , что справедливо равенство

38.????? Теорема 3. Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых, т. е.

(**)

Теорема 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

39. Теорема 5. Если f (x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [ a, b ], то существует такая точка , что

(14)

В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f (x) на промежутке [ a, b ]. Составим для f (x) какую-нибудь интегральную сумму

Так как при всех k будет m ≤ f (ξ_k) ≤ M, а x_{k +1} > x_k, то m (x_{k +1} - x_k) ≤ M (x_{k +1} - x_k). Складывая такие неравенства и замечая, что

получим:

m (b - a) ≤ σ ≤ M (b - a).

Переходя в этом неравенстве к пределу при λ → 0, приходим после деления на b - a к новому неравенству

Таким образом, частное

есть число, лежащее между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции. Как известно, тогда и само это число должно являться одним из значений той же функции. Поэтому в [ a, b ] обязательно существует такая точка ξ, что h = f (ξ), а это равносильно равенству (14).

Заметим, что равенство (14) справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части этого равенства нули), а также и при a > b (этот случай приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

Тео 4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f (x), g (x) интегрируемы по отрезку [ a, b ], то .
Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек при . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство. рему 5 обычно называют теоремой о среднем значении.