Интегрирование подстановкой и непосредственное

Рассмотрим один из способов сведения исходногонеопределенного интеграла к уже известным (существующим) интегралам.

Положив в , что , т.е. переменная является функцией от , тогда

получим выражения для и . Теперь подставим полученные выражения в интеграл, следовательно:

где --произвольная постоянная и функция -- обратная функция к . Такое преобразование интеграла называется интегрированием подстановкой (замена переменных).

Замечание. Последнее действие в предыдущем равенстве является обязательным, т.к. интеграл зависит от переменной , следовательно, ответ должен быть функцией от . Это операция называется - обратная замена переменных.

Общая замена переменных выглядит следующим образом:

тогда

и, используя эти равенства, добиваемся, чтобы в исходном интеграле, зависящим от , не было вхождения , т.е.

Здесь следуя предыдущему замечанию необходимо сделать обратную замену переменных. Отметим, что если изначально, например, интегрировали по , то ответ не должен содержать других переменных кроме .