![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Установленное в первом параграфе приближенное равенство
или
(14)
позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.
Запишем приближенное равенство более подробно. Так как
а
то
или
(15)
Пример 3. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.
Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x. Формула (15) в данном случае примет вид
Положим
тогда
Следовательно,
что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.
Пример 4. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно
Решение. Число
является одним из значений функции
Так как производная этой функции
то формула (15) примет вид
Полагая
и
получаем
(табличное значение
).
Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.
Абсолютная погрешность приближенного числа
равна абсолютной величине разности между точным числом
и его приближенным значением:
(16)
Относительной погрешностью приближенного числа
называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:
(17)
Если точное число неизвестно, то
(18)
Иногда, прежде чем применить формулу (15), требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с
, так как чем меньше
, тем, вообще говоря, точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина
вычислялась просто.
Пример 5. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.
Решение. Рассмотрим функцию
Её производная равна
а формула (15) примет вид
В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим образом:
так как значение
не является малым по сравнению со значением производной в точке
Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3. Тогда
Теперь, полагая
получим
Умножая на 4/3, находим
Принимая табличное значение корня
за точное число, оценим по формулам (16) и (17) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:
35. Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функция F (x) называется первообразной функции f (x), если
Множество всех первообразных некоторой функции f (x) называется неопределенным интегралом функции f (x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная.
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 307 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!