![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Непрерывная на отрезке [ a; b ] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x 1 и x 2 из этого отрезка
График 3.2.3.1. Другими словами, если для любых точек x 1 и x 2 отрезка [ a; b ] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.
Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.
Дважды дифференцируемая на [ a; b ] функция f (x) выпукла вверх, если для любого
Дважды дифференцируемая на [ a; b ] функция f (x) выпукла вниз, если для любого
Так, вторая производная функции равна
откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.
Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка
называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.
Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то
Достаточные условия наличия точки перегиба.
Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если
меняет знак при переходе через точку
то
– точка перегиба функции f (x).
Если
то
– точка перегиба функции f (x).
В заключение приведем примеры, когда точка x 0 не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:
§ если функция разрывна в точке (например
);
§ в случае угловой точки (например,
Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка у функции
Все вышеперечисленные случаи изображены на рисунке.
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 208 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!