Выпуклость функции и точки перегиба

Непрерывная на отрезке [ a; b ] функция f (x) называется выпуклой вверх на этом отрезке, если для любых точек x ₁ и x ₂ из этого отрезка

График 3.2.3.1. Другими словами, если для любых точек x ₁ и x ₂ отрезка [ a; b ] секущая AB проходит под графиком функции f (x), то функция f выпукла вверх.

Аналогично определяется функция, выпуклая вниз.

Дважды дифференцируемая на [ a; b ] функция f (x) выпукла вверх, если для любого

Дважды дифференцируемая на [ a; b ] функция f (x) выпукла вниз, если для любого

Так, вторая производная функции равна откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

Достаточные условия наличия точки перегиба.

Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если меняет знак при переходе через точку то – точка перегиба функции f (x).

Если то – точка перегиба функции f (x).

В заключение приведем примеры, когда точка x ₀ не является точкой перегиба несмотря на то, что ее вторая производная меняет знак при переходе через эту точку:

§ если функция разрывна в точке (например );

§ в случае угловой точки (например,

Не являются точками перегиба и точки возврата, например точка у функции

Все вышеперечисленные случаи изображены на рисунке.