![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим функцию , где
-- открытое множество.
Определение 1. называется точкой максимума (минимума) функции
, если
Аналогично если выполняется строгое неравенство, точка называется точкой строгого максимума (строгого минимума).
Теорема 1. (необходимое условие экстремума) Если -- точка экстремума и существует
, то
.
Доказательство. Частную производную можно представить как производную функции одной переменной в точке
. Для этой функции точка
также является точкой экстремума. Тогда, по необходимому условию экстремума функции одной переменной
.
Определение 2. -- стационарная точка функции
, если
-- дифференцируема в этой точке и
, или
-- не дифференцируема в этой точке.
Замечание 1. Квадратичная форма -- многочлен вида ,
-- положительно определена, если на положительных переменных она принимает положительные значения. Для квадратичных форм существует критерий Сильвестра: форма положительно определена, если все главные миноры ее матрицы положительны. Форма отрицательно определена, если
положительно определена. Тогда главные миноры меняют знак, начиная с минуса.
Теорема 2. (достаточное условие экстремума) Если дважды дифференцируема в стационарной точке
, то
-- точка минимума (максимума), если квадратичная форма
положительно (отрицательно) определена. Если эта форма не определена, то экстремума в этой точке нет. Если она вырождена, то неизвестно, является ли
точкой экстремума.
Доказательство. По формуле Тейлора приращение функции в точке можно записать в виде
, поскольку, по необходимому условию экстремума, частные производные будут равны нулю. Перепишем выражение в виде
, причем
при
. Заметим, что новые переменные
изменяются на единичной сфере, т.к.
. Кроме того, квадратичная форма
непрерывна и по теореме Вейерштрасса на сфере принимает наименьшее значение, обозначим его
. Пусть форма положительно определена. Тогда
. Теперь благодаря тому, что
при
можно подобрать такое
, что при
выполнено
, тогда выполнено
в этой окрестности. Что и означает, что
-- точка минимума. Для точки максимума доказательство аналогично.
Замечание 2. В случае двух переменных матрица квадратичной формы имеет вид . Тогда если
, то для положительной определенности достаточно
-- тогда имеется минимум. Если же
, то достигается максимум. Если же
, то ничего сказать нельзя.
Дата публикования: 2015-01-25; Прочитано: 362 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!