Задания для самостоятельной работы. Вычислите криволинейные интегралы 1-го рода в примерах 1-6

Вычислите криволинейные интегралы 1-го рода в примерах 1-6.

1. , где – четверть эллипса , лежащая в первом квадранте.

2. , где – окружность .

3. , где – отрезок прямой, соединяющий точки и .

4. , где – отрезок прямой, соединяющий точки и .

5. , где – дуга параболы от точки до точки .

6. , где – первый виток винтовой линии , , .

7. Найдите длину дуги конической винтовой линии , , от точки до точки . Указание: точке соответствует значение параметра , а точке – значение .

8. Найдите площадь боковой поверхности кругового цилиндра, находящегося под первым витков винтовой линии , , и выше плоскости .

9. Найдите координаты центра тяжести однородной полуарки циклоиды , .

Вычислите криволинейные интегралы 2-го рода в примерах 10-16.

10. , где – дуга кривой от точки до точки .

11. , где – верхняя половина эллипса , , пробегаемая против хода часовой стрелки.

12. , где точки и соединены кривой

13. , где – длина первой арки циклоиды , , пробегаемая в направлении возрастания параметра .

14. , где – окружность , пробегаемая против хода часовой стрелки. Указание: используйте параметрическое уравнение окружности.

15. , где – виток винтовой линии , , .

16. , где – ломаная линия с вершинами , , , .

17. Найдите массу дуги кривой , если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки, причем , .

18. Найдите длину дуги кривой , между ее точками пересечения с осями координат.

19. Найдите площадь, ограниченную астроидой , .

20. Найдите работу силового поля , когда точка массы описывает окружность , , двигаясь по ходу часовой стрелки.

21. Поле образовано силой . Вычислите работу при перемещении единицы массы по контуру квадрата со сторонами , .

Найдите работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке .

22. , где – отрезок , , .

23. , .

24. ,

.

25. , .

Найдите циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура (в направлении, соответствующем возрастанию параметра ).

26. , .

27. ,

.

28. , .

Вычислите двойные интегралы.

29. . 31. .

30. . 32.

Измените порядок интегрирования (предварительно нарисовав область интегрирования).

33. . 34. .

35. . 36. .

37. . 38. .

39. .

40. .

Вычислить площади фигур, ограниченных кривыми в примерах 41-46.

41. , , . 42. , .

43. , , . 44. , , .

45. , , . 46. , , .

47. Вычислите площадь петли кривой .

48. Вычислите площадь петли кривой . Указание: сделайте замену переменных , .

Путем перехода к полярным координатам вычислите следующие интегралы.

49. , если область ограничена окружностью , .

50. , где – кольцо между окружностями радиусов и с центром в начале координат.

51. .

52. .

53. , где – полукруг диаметра с центром в точке , лежащий выше оси Ох.

Найдите массу пластинки с заданной поверхностной плотностью .

54. , .

55. , .

56. , .

57. Вычислите площадь той части плоскости , которая лежит в первом октанте и ограничена цилиндром .

58. Вычислите площадь той части поверхности конуса , которая высекается цилиндром .

59. Вычислите площадь поверхности параболоида , расположенного внутри цилиндра .

Вычислите интегралы по площади поверхности.

60. , где – часть плоскости , лежащая в первом октанте.

61. , где – часть сферы , лежащая в первом октанте.

62. , где – цилиндр , ограниченный плоскостями и , а – расстояние от точки поверхности до начала координат.

Вычислите тройные интегралы.

63. , где – область, ограниченная координатными плоскостями и плоскостью .

64. , где – область, ограниченная конусом и плоскостью .

65. , где – трехгранная призма, ограниченная плоскостями , , , , , , .

Вычислите интегралы, переходя к сферическим или цилиндрическим координатам.

66. .

67. .

68. .

69. , где – шар .

Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями в примерах 70-72.

70. , .

71. , , .

72. , . Указание: перейдите к сферическим координатам.

73. Вычислите массу тела, ограниченного поверхностями , , если плотность в каждой точке тела равна аппликате этой точки.

74. Вычислите массу тела, ограниченного поверхностями , , , , , если плотность в каждой точке тела равна ординате этой точки.

75. Вычислите поток векторного поля через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусом из плоскости , .

76. Вычислите поток векторного поля через треугольник ABC с вершинами в точках , , (нормаль образует с осью Ох острый угол).

77. Вычислите поток векторного поля через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченную плоскостями , , .

78. Вычислите поток векторного поля через полную поверхность конуса , ограниченную плоскостью , .

79. Методом введения криволинейных координат на поверхности вычислите поток вектора через поверхность , где – внешняя сторона цилиндрической поверхности , ограниченная сферой .

80. Методом введения криволинейных координат на поверхности вычислите поток вектора через поверхность , где – внешняя сторона части сферы , вырезанная конической поверхностью , где .

Вычислите поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя). Проверьте результат с помощью формулы Гаусса-Остроградского в примерах 21-24.

81. , .

82. , .

83. , .

84. , .

Достраивая подходящим образом заданные незамкнутые кривые до замкнутых и пользуясь теоремой Гаусса-Остроградского, вычислите потоки векторных полей через указанные поверхности (к замкнутой поверхности берем внешнюю нормаль).

85. , .

86. , .

87. , .

Вычислите циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру . Проверьте результат при помощи формулы Стокса в примерах 88-90.

88. , .

89. , , .

90. , где – линия пересечения плоскости с координатными плоскостями , , .

91. Найдите дивергенцию векторного поля , где – постоянный вектор, а .

92. При какой функции дивергенция векторного поля будет равна ?

93. Найдите , где , а .

94. Найдите функцию , для которой выполняется равенство .

95. Какова должна быть функция , чтобы ротор векторного поля совпал с вектором ?

96. Найдите ротор .

97. Найдите ротор .

98. Найдите ротор .

Докажите, что следующие векторные поля являются потенциальными, и найдите их потенциалы.

99. .

100. .

101. .