Криволинейный интеграл II рода

Рис.10

Пусть L – гладкая ориентированная кривая в и – единичный вектор касательный в точке , а – векторная функция определённая и непрерывная на L (рис. 14). Тогда скалярное произведение есть скалярная функция, определённая в каждой точке кривой L.

Определение 3. Криволинейный интеграл первого рода по кривой от функции называется криволинейныминтегралом II рода от векторной функции по кривой :

.

Учитывая, что получаем:

. ( 9 )

В декартовой системе координат векторы имеют координаты:

,

,

,

тогда

или

.

Криволинейный интеграл второго рода обладает, как и криволинейный интеграл первого рода, свойствами линейности и аддитивности, а также очень важным дополнительным свойством: он меняет знак при изменении ориентации кривой, т.е.

.

Докажем это утверждение. Действительно, если кривой соответствует касательный вектор , то , тогда

Если L – непрерывная кусочно-гладкая кривая, то представим её как объединение конечного числа гладких кривых , , т.е. . Тогда по определению получаем: .

9.2.3. Вычисление криволинейного интеграла II рода. Если кривая L – гладкая и имеет векторное представление , , то , где . Вычислив скалярное произведение в декартовой системе координат, получим формулу для вычисления криволинейного интеграла:

.

Если – плоское поле и кривая задана в явном виде, т.е. , , то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

,

так как , , , .

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по трем кривым, соединяющим точки и , изображенный на рис.11.

Решение. 1. Пусть кривая АВ задана уравнением . Тогда , получаем

.

2. Для кривой АВ, заданной уравнением , имеем , откуда

.

Рис.11

3. Интегрируя по ломанной АСВ, воспользуемся свойством аддитивности интеграла и представим его как сумму двух интегралов – по отрезкам АС и СВ. Так как для отрезка АС , и , то получаем:

.

Для отрезка СВ имеем , и , поэтому

.

Следовательно,

.

Таким образом, . Этот результат не случаен. Далее будет доказано, что значение данного интеграла не зависит от кривой, соединяющей точки А и В.

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где – окружность .

Решение. Запишем параметрическое уравнение данной окружности: , , . Так как , , то

.