Интегралы, зависящие от параметра

9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:

. ( 28 )

Предполагается, что интеграл в правой части существует как интеграл Римана. Переменная у называется параметром.

Теорема 15. Если функция непрерывна на замкнутом прямоугольнике , то функция непрерывна на отрезке .

‰ Пусть - произвольная точка на отрезке , функция , непрерывная на прямоугольнике П, равномерно непрерывна на нем (по теореме Кантора). Из равномерной непрерывности следует, что и для и такого, что выполняется . Тогда

.

Таким образом, получаем, что для , удовлетворяющему условию существует предел , т.е. непрерывна на . <

Следствие. Если непрерывна на П, то выполняется равенство:

.

Доказательство следует из теоремы 15 и из теоремы для заданной на области П и интегрируемой на . (см. «Вычисление двойного интеграла»).

Теорема 16. Если функция и её частные производные непрерывны на прямоугольнике П, то функция непрерывно дифференцируема на отрезке и

или ,

т.е. интеграл (40), зависящий от параметра, можно дифференцировать по параметру.

‰ Пусть , . В силу следствия к теореме 27 имеем

.

Получаем, что .

Тогда по правилу дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом будет:

,

причём в силу теоремы 27 непрерывна на . <

Следствие. Пусть и непрерывны на П, а функции и дифференцируемы на отрезке , причём и для . Тогда справедлива формула

.

Эта формула называется формулой дифференцирования интеграла с переменными пределами интегрирования.

‰ Рассмотрим функцию , . Запишем её как сложную функцию , где , и найдём как производную сложной функции у:

.

Так как

;

;

,

то, подставляя полученные выражения для производных в формулу для вычисления , получаем доказываемую формулу. ■

9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве . Будем рассматривать интегралы вида:

. (29)

Пусть несобственный интеграл (29) сходится. В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится на отрезке .

Легко увидеть из признака Коши для несобственных интегралов, что интеграл (29) сходится в том и только в том случае, когда существует предел . Это означает, что для такое, что для выполняется

Определение 5. Несобственный интеграл (29) называется равномерно сходящимся на , если для такое, что выполняется .

Таким образом, в отличие от определения простой сходимости требуется, чтобы число В было зависящим только от и не зависит и не зависит от у.

Теорема 17. ( Признак Вейерштрасса ). Пусть:

1) функция интегрируема по Риману по переменной х на любом отрезке ;

2) функция определена на промежутке , причём для ; ( 30 )

3) интеграл сходится,

тогда несобственный интеграл (29) сходится абсолютно и равномерно на .

‰ По признаку сравнения для несобственных интегралов в силу (30) несобственный интеграл (29) сходится абсолютно.

Из сходимости интеграла (29) следует, что такое, что для выполняется . В силу (30) имеем

для и .

Следовательно, несобственный интеграл (29) сходится равномерно на . <

Теорема 18. Пусть функция непрерывна на множестве и интеграл (29) сходится равномерно на . Тогда функция непрерывна на .

‰ Пусть - произвольная точка , т.е. . Тогда

. (31)

В силу равномерной сходимости несобственного интеграла (29) для такое, что для

,

тогда

. (32)

Фиксируем некоторое . Функция непрерывна на прямоугольнике , следовательно, по теореме Кантора она равномерно непрерывна на П, т.е. такое, что для выполняется . Отсюда следует, что

. (33 )

Из (31), (32), (33) следует, что

, при .

Следовательно, непрерывна в произвольной точке. ■

Теорема 19. Пусть непрерывна на множестве и интеграл (29) сходится равномерно на . Тогда

.

ÿ Пусть , тогда в силу следствия к теореме 15 имеем

. (34)

Из равномерной сходимости интеграла (29) следует, что для , что при и получаем

и тогда

.

Следовательно,

. ( 35 )

Переходя в равенстве (34) к пределу при , в силу (35) получим:

. <

Теорема 20. Пусть функция , частная производная и интеграл (29) непрерывны на , а интеграл - сходится равномерно на . Тогда функция непрерывно дифференцируема на и справедлива формула: .

□ Пусть , . В силу теоремы 19, имеем

.

Таким образом, . Отсюда следует, что

.

В силу теоремы 18, производная непрерывна на . <

Пример 16. Вычислить , .

Решение. Будем считать b - фиксированной величиной, а a - параметром. Обозначим , тогда . Легко проверить, что интеграл сходится для . Пусть , .

Интеграл , т.е. сходится. Тогда по признаку Вейерштрасса следует равномерная сходимость по параметру a интеграла на отрезке . В этом случае несобственный интеграл можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла

при .

Тогда . Так как , то . Таким образом, получаем

.

Контрольные вопросы

1. Что такое интегральная сумма? Составьте интегральную сумму функции , соответствующую разбиению области на прямоугольники и выбору левых верхних вершин этих прямоугольников в качестве промежуточных точек.

2. Что называется диаметром ограниченного множества точек? Чему равен диаметр: а) квадрата со стороной 1; б) области, ограниченной эллипсом ?

3. Дайте определение предела интегральных сумм и двойного интеграла. Докажите, что неограниченная в области функция не интегрируема в этой области.

4. Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность двойных интегралов.

5. Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для двойного интеграла, аналогичную теореме для определенного интеграла.

6. Сведите двойной интеграл к повторному двумя способами, если G – круг, ограниченный окружностью .

7. Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интеграле.

8. Дайте определение предела интегральных сумм и тройного интеграла. Докажите, что неограниченная в пространственной области функция не интегрируема в этой области.

9. Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность тройных интегралов.

10. Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для тройного интеграла.

11. Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к повторному, в котором внутренний интеграл является определенным интегралом.

12. Напишите формулы перехода от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам . Вычислите якобиан перехода. Что представляют собой координатные поверхности , , и координатные линии ?

13. Напишите формулы перехода от прямоугольных координат к сферическим координатам . Вычислите якобиан перехода. Что представляет собой координатные поверхности , , и координатные линии ?

14. Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла первого рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла первого рода.

15. Зависит ли от направления обхода кривой: а) криволинейный интеграл первого рода; б) какая-нибудь его интегральная сумма?

16. Для криволинейного интеграла первого рода сформулируйте: а) свойства линейности и аддитивности; б) теорему об оценке модуля интеграла; в) теорему о формуле среднего значения.

17. Зависит ли от направления обхода кривой криволинейный интеграл второго рода. Какое направление обхода замкнутой кривой принимают за положительное?

18. Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла второго рода и сведении его к определенному интегралу. Напишите соответствующие формулы для: а) плоской кривой заданной параметрически, в декартовых координатах; б) пространственной кривой, заданной параметрически.

19. Какая связь между криволинейными интегралами первого и второго рода?

20. Сформулируйте свойства линейности и аддитивности криволинейных интегралов второго рода.

21. Дайте определение поверхностного интеграла первого рода.

22. Напишите формулу вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла для явно заданной поверхности.

23. Каким характеристическим свойством обладает двусторонняя поверхность; односторонняя поверхность?

24. Сформулируйте определение поверхностных интегралов второго рода. Как они обозначаются?

25. Зависят ли от ориентации поверхности:

а) поверхностный интеграл первого рода и его интегральные суммы;

б) поверхностный интеграл второго рода?

26. Какая область называется простой? Является ли простой областью: а) шар ; б) параллелепипед , , ; в) тетраэдр , , , ? Ответы обоснуйте.

27. Напишите формулу Остроградского-Гаусса и сформулируйте условия, при которых эта формула справедлива.

28. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, покажите что объем области , ограниченной кусочно гладкой поверхностью , можно вычислить по формуле

,

где интеграл берется по внешней стороне .

29. Какой интеграл называется зависящим от параметра. Теорема о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра.

30. Сформулируйте теорему о дифференцировании собственного интеграла, зависящего от параметра. Следствие.

31. Какой несобственный интеграл называется зависящим от параметра. Определение равномерной сходимости.

32. Сформулируйте признак Вейерштрасса для несобственного интеграла, зависящего от параметра.

33. Сформулируйте теорему о дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра.