Двойные интегралы

Вычисление двойных интегралов. Основным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к повторным однократным интегралам. Сначала рассмотрим случай прямоугольной области.

Теорема 11. Пусть для функции в прямоугольнике (рис.12) существует двойной интеграл и для каждого существует однократный интеграл .

Тогда существует повторный интеграл , причём справедливо равенство

( 9 )

‰ Разобьём область с помощью точек , и прямых параллельных осям координат на частичных прямоугольников , , .

Положим , . Обозначим и точные грани функции на частичном прямоугольнике . Тогда всюду в этом прямоугольнике получаем

. ( 10 )

Положим в (10) , где и проинтегрируем по переменной . Получим:

.

Теперь суммируя по всем j от 1 до n, получаем:

или

Рис.19

.

Умножим на и просуммируем по всем от 1 до , тогда

. ( 11 )

Пусть наибольший диаметр частичных прямоугольников стремится к нулю, т.е. . Из определения двойного интеграла, в этом случае части слева и справа в последнем неравенстве стремятся к двойному интегралу . Переходя к пределу в (11) получим, что существует и предел среднего члена. Но этот предел по определению равен

. <

Замечание. В теореме 11 можно поменять ролями х и у, т.е. можно предположить существование однократного интеграла , тогда теорема будет утверждать существование повторного интеграла .

Теорема 12. Пусть выполняются следующие условия:

– область D ограничена, замкнута и такова, что любая прямая параллельная оси Oy пересекает границу этой области не более чем в двух точках, ординаты которых есть и , где ;

– существует двойной интеграл ;

– существует однократный интеграл (для любого х) ,

тогда существует повторный интеграл , где a и b наименьшая и наибольшая абсциссы точек области D тогда справедливо равенство

. (12 )

Рис.13

‰ Обозначим через прямоугольник со сторонами параллельными осям Ox и Oy, содержащий область D (рис.13). Пусть функция, совпадающая с в точках области и равная нулю в остальных точках . Для функции выполняются все условия теоремы 11 и, следовательно, справедлива формула (9), которая, с учётом того, что равна нулю вне и совпадает с в , переходит в формулу (12):

. <

Замечание. В теореме 12 можно поменять местами интегралы по переменным и , т.е. предположить, что:

– D такова, что любая прямая параллельная оси Ox пересекает границу этой области не более чем в двух точках, абсциссы которых есть и ;

– функция допускает существование двойного интеграла и (для любого у) однократного интеграла .

Тогда существует повторный интеграл и справедлива формула

, (13)

где c и d наименьшая и наибольшая ординаты точек области D.

Рис.14

Замечани е. В случае, если область D не удовлетворяет условиям теоремы и замечанию, то часто удаётся область разбить на объединение конечного числа областей, не имеющих общих внутренних точек. Например, рис.14. Тогда интеграл по D равен сумме интегралов по каждому из :

.

В каждой такой области применима теорема 12.

Пример 6. Вычислить , если – область, ограниченная кривыми и .

Решение. Область является правильной в направлении оси т.к. любая прямая параллельная оси имеет одну точку входа и одну точку выхода, причем все точки расположены на параболе , а выход – на прямой (рис. 15), причем . Тогда по формуле (12) будем иметь:

.

Рис.15

Также область является правильной относительно оси , поэтому для вычисления интеграла можно применить и формулу (13). Вэтом случае точка входа расположена на прямой , а точка выхода на параболе , . Получим:

.

Пример 7. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Решение. Кривые , и отрезок прямой ограничивают область , изображенную на рис. 16 а. Данный повторный интеграл равен двойному интегралу по этой области. Чтобы изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, нужно разбить область на три части, как показано на рис. 16б. Кривая является верхней полуокружностью окружности . Решая это уравнение относительно , получим два решения: . В областях и переменная изменяется от 0 до 1, а при каждом значении переменная изменяется в области от (значение на кривой ) до (значение на окружности), а в области – от до 2. Поэтому получаем

Рис.16

.

Аналогично для области имеем

.

Таким образом, окончательно получаем

. n

Формула Грина. Введём предварительно понятия положительной и отрицательной ориентации контура на плоскости. Ориентация контура, т.е. замкнутой кривой, L называется положительной, если при обходе по контуру L область D, ограниченная им, остаётся слева (такой обход обычно называют обходом контура против часовой стрелки). В противном случае ориентация считается отрицательной. Обозначать положительную ориентацию контура будем, а отрицательную –.

Будем называть область D простой относительно оси Оу, если её граница состоит из двух непрерывных на функций и , где , и может быть из отрезков прямых и . Аналогично определяется область простая относительно оси Ох.

Область D, ограниченная кусочно-гладким контуром L, называется простой, если её можно разбить на конечное число простых областей относительно обеих осей координат.

Теорема 13. Если область D простая, ограниченная контуром , а векторная функция непрерывна вместе с частными производными и в , то имеет место формула Грина

. (14)

‰ Докажем формулу для простой области относительно оси Оу и оси Ох.

Сведём двойственный интеграл к повторному интегралу:

. ( 15 )

Определённый интеграл можно заменить криволинейным интегралом по кривой NKM (рис.17):

.

Аналогично, интеграл можно заменить на криволинейный интеграл по кривой АВС

.

Рис.17

На отрезках МА и CN , поэтому равны нулю и интегралы и . Тогда (20) можно записать

.

Рис.18

Рассматривая область D как область простую относительно оси Ох, такими же рассуждениями можно получить . Складывая два последних равенства получим формулу Грина для простой области. Теперь докажем для общего случая произвольной области D. Пусть , где – области, простые относительно координатных осей. Для простоты рассмотрим , (рис.18). Для каждой из областей можно записать формулы Грина и сложить их. Так как , , то

.

Т.к. , то, в силу аддитивности интеграла слева, имеем:

.

Каждый из контурных интегралов перепишем в виде

,

.

Так как , тогда, складывая, получаем

.

Таким образом, формула Грина справедлива в случае . Для случая справедливость доказывается аналогично. <

Замечание 1. Формула Грина остаётся справедливой и при более общих предположениях, когда функции и Q непрерывны в замкнутой области , а и непрерывны в открытой области.

Замечание 2. Формула Грина справедлива и для многосвязной области D, ограниченной объединением кусочно-непрерывных . Для этого область превратим в односвязную (рис. 26). Для неё справедлива формула Грина, но криволинейный интеграл по и взаимно уничтожится.

Рис.26

Замечание 3. Полагая в формуле Грина и , получим следующую формулу для вычисления площади замкнутой области : . Аналогично при и имеем . С ложив эти равенства, получим формулу для вычисления площади с помощью криволинейного интеграла II рода: .

Пример 10. Вычислить криволинейный интеграл:

,

где кривая АО – верхняя полуокружность , ,

(рис. 19).

Решение. Введем обозначения: , . Дополним кривую интегрирования до замкнутого контура отрезком ОА оси Ох. Тогда получим

Рис.19

.

Так как , то по формуле Грина находим ,

где область – верхняя половина круга радиуса . Поэтому

.

Вычислим интеграл по отрезку ОА оси Ох. Учитывая, что на этом отрезке , , получим . Таким образом, .

9.3.3. Замена переменных в двойном интеграле. Рассмотрим дважды непрерывно дифференцируемое, взаимно-однозначное отображение односвязной области G переменных (u, v) на односвязную область D переменных (x, y):

и ( 16 )

При этом пусть обратное отображение непрерывно дифференцируемо. В силу теоремы об отличии от нуля якобианов таких отображений, якобиан этого отображения отличен от нуля

.

Предположим, что область простая вдоль оси Ох: .

Пусть – граница области , является простым замкнутым контуром, ограничивающим . – образ контура при отображении (16), при этом – образ замкнутой области .

Будем считать, что замкнутые области и , таковы, что можно пользоваться формулой Грина. Пусть функция непрерывно дифференцируемая в области . Выберем функцию так, чтобы , где . Например, пусть , где – непрерывно дифференцируемая функция на интервале , которая удовлетворяет условию . Воспользовавшись формулой Грина при , получим

. ( 17 )

В криволинейном интеграле, стоящем в правой части формулы (17), сделаем замену переменных по формулам (16):

.

Теперь, стоящий справа криволинейный интеграл, снова преобразуем по формуле Грина:

.

Таким образом, из последней формулы и формул (16) и (17) имеем

.

Знак «+» берётся перед двойным интегралом в том случае, если граница проходится в положительном направлении, и знак «–», когда в отрицательном. Направление обхода определяется якобианом . Можно показать, что, если в области , то проходится в положительном направлении, если , то в отрицательном. Тогда

. ( 18 )

Эта формула называется формулой замены переменных в двойном интеграле.

Наиболее распространённая замена на практике заключается в переходе к полярным координатам по формулам: , , . Якобиан этого отображения равен

,

тогда переход к вычислению интеграла в полярной системе координат осуществляется по формуле:

.

Замечание. Полагая в формуле (18) и пользуясь теоремой о среднем, получим

, где ,

или

.

Отсюда следует, что модуль якобиана есть средний коэффициент изменения площади при отображении (16).

Пример 8. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

; ; .

Пример 9. В двойном интеграле , где – круг, ограниченный окружностью , перейти к полярным координатам с полюсом в точке и вычислить полученный интеграл.

Решение. Круг , изображен на рис. 20 а. Уравнения, связывающие и полярные координаты с полюсом в точке имеют вид: , . При этом . Уравнение окружности в полярных координатах имеет вид . Его решением является и . Эти две кривые на плоскости при ограничивают область (рис. 20 б), являющуюся прообразом области . Якобиан на границе области . Подынтегральная функция в новых переменных равна .

Рис.20

Получаем

.