Геометрический и физический смысл интегралов по фигуре

Из теоремы 7 следует, что интеграл по от единичной функции на есть мера этой фигуры, т.е. длина, площадь или объём, в зависимости от типа . Рассмотрим другие геометрические приложения.

Геометрический смысл криволинейного интеграла 1-го рода по кривойна плоскости. Пусть L – кривая, лежащая на плоскости Oxy. Рассмотрим , причем, для любых .

Построим цилиндрическую поверхность с направляющей линией L и образующими, параллельными Oz. Поверхность пересекает цилиндрическую поверхность по исходной кривой Г. (рис.7).

Рис.7

Рис.7

Обозначим часть цилиндрической поверхности между кривыми L и Г через . Тогда интегральная сумма представляет собой приближённое значение площади цилиндрической поверхности с -образующими, параллельными оси Оz. Если , то получим точную площадь, а это и есть криволинейный интеграл 1-го рода. Таким образом, криволинейный интеграл по плоской кривой L равен площади куска цилиндрической поверхности с направляющей L и образующими, параллельными Oz, срезанного сверху поверхностью .

Рис.8

Геометрический смысл двойного интеграла. Рассмотрим двойной интеграл . Предположим, что функция положительная в области .

Рассмотрим в пространстве тело, ограниченное снизу областью , сверху поверхностью , а с боков цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz, проведённой через границу области . Такое тело будем называть цилиндрическим (рис. 10.8).

Если разбить область на n участков , площадью , , и на каждом участке взять точку , то произведение есть приближённый объём цилиндрического тела с основанием , образующей, параллельной оси Oz и проходящей через границу , и накрытого сверху куском поверхности , вырезанного этими образующими. При этом – приближённая высота цилиндра.

Если просуммировать при достаточно большом числе n разбиения, то есть приближённый объём цилиндра тела V. В качестве значения объема V возьмём предел, когда максимальный диаметр площади: .

Таким образом, двойной интеграл от положительной функции по области , есть объём соответствующего цилиндра тела, ограниченного поверхностью .

Рис.9

Потенциал простого слоя. Пусть на поверхности непрерывным образом распределены массы с заданной величиной в точке плотностью . Пусть в некоторой точке вне поверхности находится единица массы (рис.9). Определим, какой по величине и направлению слой притягивается в точке А поверхностью , если в основу положен закон тяготения Ньютона.

Если бы точка А притягивалась лишь одной материальной точкой с сосредоточенной в ней массой , то величина силы была бы , . Так как сила направлена от А к М, то направляющие косинусы вектора будут соответственно равны , , . Следовательно, проекции силы равны:

; ; .

В случае системы притягивающих точек эти выражения заменились бы системами подобных выражений, а при непрерывном распределении масс по поверхности появляются интегралы. Применим общий приём. Рассмотрим элементарную поверхность с точкой и массой , сосредоточенной в ней. Оказываемое притяжение будет иметь проекции

; ; .

При суммировании и предельном переходе, при , получаются формулы для проекции силы – притяжение простого слоя:

; ; . (5)

Полученные интегралы являются поверхностными интегралами первого рода. Таким образом, сила притяжения определяется по формуле:

.

В случае одной притягивающей точки , проекции притягивающей силы имеют вид (5). Легко проверить, что эти проекции являются частными производными по от функции – ньютоновский потенциал. При непрерывном распределении масс по поверхности получается формула: – потенциал первого слоя масс, распределённого по поверхности с плотностью относительно точки А.

Механический смысл интегралов по фигуре. Будем считать, что рассматриваемая фигура материальна, т.е. обладает некоторой массой. Так, в отношении отрезка будем считать, что это тонкий материальный стержень, всеми размерами которого можно пренебречь, кроме длины. Кривая L –соответственно представляет собой тонкий изогнутый материальный стержень. Плоскую область D и поверхность будем представлять как материальные пластинки (плоские и изогнутые), толщиной которых можно пренебречь. Пространственное тело V будем рассматривать как естественное тело с некоторой массой. Введем понятие плотности фигуры, как функцию точки.

На отрезке выделим элемент и обозначим его массу . Линейной плотностью стержня в точке будет называться предел . Если стержень неоднородный, то в каждой точке плотность различная.

Если стержень криволинейный, определённый кривой L, то

.

Для пластины D, имеющей некоторую массу рассмотрим элемент с массой и . Тогда поверхностная плотность пластинки будет .

Аналогично, поверхностная плотность тяжёлой криволинейной пластинки будет .

Объёмная плотность в точке материального тела V определяется равенством .

У каждой из рассматриваемых фигур плотность является функцией точки, т.е. .

Поставим задачу определения массы некоторой компактной фигуры , имеющей плотность . Рассмотрим некоторое разбиение , , причём достаточно большое число. На каждом элементе разбиения выберем произвольную точку . При мелком разбиении можно считать приближённо, что плотность на каждом элементе разбиения постоянна, причём . Тогда масса элемента разбиения будет , а вся масса будет приближённо равна . Ясно, что чем мельче разбиение, тем точнее можно посчитать массу. За точное значение массы фигуры примем предел , где .

Если этот предел существует и не зависит от разбиения и выбора точек , то есть интеграл по фигуре , т.е. .

Если непрерывная или кусочно-непрерывная функция, то интеграл существует. Вообще говоря, если на , то можно

интерпретировать как массу этой фигуры с плотностью