Криволинейные интегралы

Вычисление криволинейных интегралов по длине дуги. Пусть – функция, заданная на гладкой кривой L. Если L кусочно-гладкая, то соответственно интеграл можно представить суммой интегралов по гладким кускам.

.

Пусть гладкая кривая задана уравнением , . Функция определена и непрерывна в точках кривой L, причём – дифференцируемая функция.

Ранее была получена формула для дифференциала дуги: . Так как в точках кривой L функция , то , причём . Подставим полученное представление функции в исходный интеграл и получим:

.

Аналогично, если кривая задана уравнением , , то . Тогда получаем

.

Таким образом, вычисление интеграла по кривой сводится к вычислению интеграла по отрезку изменения одной из переменных.

Если гладкая кривая L задана параметрическими уравнениями:

, ,

и и непрерывные и дифференцируемые функции, причем , а определена на , тогда . Получаем

. (6)

Если L – гладкая пространственная кривая, заданная параметрическими уравнениями:

, ,

тогда , а интеграл вычисляется по формуле:

. (7)

Если L – гладкая кривая, заданная на плоскости полярным уравнением , , тогда с учетом того, что , получаем . Подставим в (6) и после преобразований получим

. (8)

Пример 1. Найти длину первого витка винтовой линии, заданной уравнениеми , .

□ По формуле (7) будем иметь

. <

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где кривая – астроида .

□Запишем параметрические уравнения астроиды , , . Так как , , то .

Отметим, что в четырех точках . Таким образом, астроида является кусочно-гладкой кривой. Получаем

. n

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где – кривая, заданная уравнением .

□ Перейдем к полярным координатам: , . Уравнение кривой примет вид

, .

Так как

, ,

то