Поверхностный интеграл II рода

Определение 4. Пусть – гладкая ориентированная поверхность в пространстве, ориентация которой определяется единичным вектором (рис. 25). Пусть также в каждой точке определена векторная функция = . Поверхностный интеграл первого рода, когда подынтегральной функцией является скалярное произведение , называется поверхностным интегралом второго рода

.

Иногда используется другое обозначение. Если вектор, совпадающий с и по длине равный площади , то

.

Рис.25

Поверхностный интеграл второго рода обладает всеми свойствами поверхностного интеграла первого рода: линейности, аддитивности, монотонности, а также следующим свойством. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл второго рода изменяет знак на противоположный. Действительно, пусть имеет , а имеет ориентацию , тогда

.

Запишем развернутое представление интеграла. Так как , а , где , , – углы, которые образует вектор с осями координат, то

.

Согласно лемме, величины , , – есть «приближённые» площади проекции элемента поверхности на координатные плоскости yOz, xOz, x O y соответственно, то есть , , , тогда

.

Вычисление интеграла. Пусть – гладкая поверхность, заданная векторным представлением , где , . Нормаль к определяется векторным произведением касательных векторов (рис.34):

.

Рис.34

Выберем в области G в качестве элементарный площадки параллелограмм со сторонами и . Тогда на поверхности ему будет соответствовать параллелограмм со сторонами и (если пренебречь кривизной поверхности). Тогда площадь элементарной площадки на поверхности будет: .

Получаем

,

где – смешанное произведение векторов. В координатной форме

. (22 )

Таким образом,

. ( 23 )

В правой части (23) стоит двойной интеграл по области G плоскости , а подынтегральная функция определена формулой (22).

Рассмотримчастный случай. Пусть область имеет явное представление . Обозначим , и и подставим в (22) и (23).

.

Если и на , то получаем

,

где – проекция на хОу.

Аналогично получаются следующие формулы. Если поверхность задана

функцией и , то

.

Если поверхность задана явно уравнением и , то

.

Пример 11. Вычислить интеграл , где – внешняя сторона параболоида , отсечённая плоскостью . (рис.35)

Решение. Заметим, что . Найдём нормаль к поверхности :

Рис.27   Рис.27

Рис.26

.

Ясно, что для единичного вектора выполняется условие: при и при . Поэтому разбиваем поверхность на две части и , описываемые уравнениями при и при соответственно (рис. 26).

Каждая из этих частей проектируется на плоскость в одну область G, граница которой состоит из параболы и прямой . Сведём поверхностные интегралы по и к двойным интегралам:

Используя подстановку , при , получаем

Укажем ещё один способ вычисления поверхностного интеграла второго рода через поверхность, заданную в неявном виде уравнением . Её можно рассматривать как поверхность уровня в скалярном поле , нормаль которого направлена по градиенту в сторону возрастания С. Так как , тогда

. (24) ( 29 )

Эта формула представляет собой поверхностный интеграл первого рода. Знак выбирается в зависимости ориентации поверхности.

Рис.28

Пример 12. Вычислить поверхностный интеграл второго рода, если , а Σ есть внешняя поверхность параболоида , отсечённого плоскостью (рис.28).

Решение. Рассмотрим скалярное поле , . Направление градиента F совпадает с направлением нормали :

.

.

По формуле (24) получим

. <