Свойства интегралов

Справедливы следующие свойства, аналогичные свойствам для определенного интеграла Римана.

Теорема 4 (линейность). Если функции и определены и интегрируемы на компактной фигуре , то функция также интегрируема, причём

.

‰ Докажем для криволинейного интеграла в , т.е. . Рассмотрим разбиение кривой L и выберем

,

так как и интегрируемы, а, следовательно, пределы существуют. <

Теорема 5 (аддитивность). Если функция интегрируема на фигуре , а фигура разбита на две связанных и не имеющих общих внутренних точек фигуры ₁ и ₂, т.е. , то интегрируема на каждой из них, причем

.

Рис.6

‰ Докажем теорему для двойного интеграла. Пусть область представляет собой объединение двух областей и , граница между которыми есть кусочно-гладкая кривая . Рассмотрим разбиение на n частей , , так, чтобы кривая была составлена из числа линий разбиения (рис.6). Тогда в попала часть разбиения , например , т.е., а в попала оставшаяся часть разбиения, т.е. . По определению интегрируемой функции в области имеем:

,

где , . Так как предел слева существует, то существует и пределы справа. <

Теорема 6 (монотонность). Если функции и интегрируемы на компактной фигуре и и , то справедливо неравенство

.

В частности, если , то .

Доказать самостоятельно.

Теорема 7. Интеграл по компактной фигуре от функции на равен мере этой фигуры, т.е. , в частности:

– для отрезка ;

– для спрямляемой кривой ;

– для области ;

– для ограниченной поверхности ;

– для пространственного тела .

‰ Для тройного интеграла получаем:

. <

Это свойство позволяет с помощью интегралов вычислять длины кривых, площади плоских областей и поверхностей, объёмы тел.

Теорема 8 (об оценке интеграла). Если определена и непрерывна на и , , тогда справедливо неравенство:

. (3)

‰ Пусть некоторое разбиение. При произвольном выборе точек на имеем , . Тогда получаем

аналогично доказывается вторая часть неравенства (3). <

Теорема 9. (о среднем значении). Если функция непрерывна на компактной фигуре , то существует точка , что выполняется равенство:

(4)

Число называется средним значением функции на .

‰ Доказательство следует из теоремы 8 и свойств функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области, которая принимает все свои промежуточные значения между m и M, т.е. .

Разделим обе части (3) на

.

Из последнего неравенства в силу теоремы Коши для непрерывных в области функций следует выражение (4). ■

Теорема 10. (оценка абсолютной величины интеграла). Если интегрируема на , то и функция интегрируема на , при чём

.