Определение и существование интегралов по фигуре

ГЛАВА 9. Криволинейные и кратные и КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Интегралы по компактной фигуре

Определение и существование интегралов по фигуре

Компактной фигурой в (n =1,2,3) назовём следующие геометрические объекты:

- отрезок [a, b ] числовой прямой;

- спрямляемую кривую конечной длины L на плоскости или в пространстве ;

- область D на плоскости , ограниченную замкнутой кусочно-гладкой кривой;

- ограниченную поверхность в пространстве ;

- ограниченную область в пространстве .

Введем для компактной фигуры общее обозначение .

Диаметром компактной фигуры называется точная верхняя грань расстояний между любыми двумя точками этой фигуры, т.е. , .

Геометрически диаметр фигуры есть наибольшая из её хорд. Если , то фигура стягивается в точку. Таким образом, компактная фигу ра – это фигура с конечным диаметром d.

Для каждой компактной фигуры определим понятие меры . Если , . Если есть кривая на плоскости или в пространстве, то , то есть длина кривой ,согласно определению, сделанному ранее.

Пусть – область на плоскости Oxy, ограниченная замкнутой кривой. Нанесем на область сетку с помощью двух семейств ортогональных прямых, параллельных осям координат Ох и Оу соответственно. Тогда область покроется сетью целых прямоугольников () и некоторыми нерегулярными областями вдоль границы области. Площадь каждого прямоугольника равна , где и длина и высота прямоугольника, а – диаметр прямоугольника. Обозначим .

Площадью области называется предел суммы площадей элементарных прямоугольников , когда

.

Если этот предел существует, то область называется квадратируемой, а площадь области называется мерой области и обозначается .

Рассмотрим в пространстве замкнутую гладкую поверхность , ограниченную кусочно-гладким контуром. Представьте себе, что эта поверхность при помощи двух семейств ортогональных кривых разбита на сеть элементарных поверхностей (). На каждой части возьмем произвольную точку (). Элемент проецируем на касательную плоскость, проведенную в точке . В проекции получим плоскую фигуру с площадью . обозначим , где диаметр .

Площадью поверхности называется предел суммы площадей при условии

.

Если этот предел существует, то поверхность называется квадратируемой, а площадь поверхности называется мерой поверхности и обозначается .

Теперь пусть есть область в пространстве Oxyz, ограниченная замкнутой поверхностью. Разобьем область семейством плоскостей, параллельных осям координат Ox, Oy, Oz. Тогда область разобьется на конечное число параллелепипедов () и некоторое число нерегулярных пространственных областей вдоль поверхности, ограничивающей область . Объем каждого параллелепипеда равен , где , и длина, ширина и высота параллелепипеда. Обозначим через диаметр параллелепипеда, а .

Объемом пространственной области называется предел суммы объемов элементарных параллелепипедов , когда

.

Если этот предел существует, то область называется кубируемой, а ее объем называется мерой области и обозначается .

Определение 1. Разбиением компактной фигуры называется множество компактных фигур (i =1, 2, …, n), такое, что никакие две различные фигуры не имеют общих внутренних точек.

Разбиение отрезка (рис.1) разбиение кривой (рис.2), разбиение плоской области (рис.3), разбиение ограниченной поверхности (рис.4) и разбиение ограниченного пространственного тела (рис. 5).

Рис. 1

Рис.2

Рис. 5

Рис. 4

Рис. 3

Меру элемента разбиения обозначим . Мерами элементов разбиения будут соответственно , ; ; ; .

Пусть на фигуре задана некоторая функция . Для определения интеграла по фигуре сделаем следующие действия:

1. Выполним некоторое произвольное разбиение фигуры , все элементы которого имеют конечную меру , причем если диаметр элемента разбиения стремится к нулю, то число элементов .

2. На каждом элементе разбиения возьмем произвольную точку .

3. Вычислим значение функции f в каждой точке , получим совокупность значений .

4. Каждое значение умножим на меру соответствующего элемента разбиения и составим сумму:

(1 )

Эта сумма называется n-ой интегральной суммой (Римана ) функции на , которая соответствует данному разбиению и данному выбору точек . Таких сумм можно получить бесконечно много. Обозначим .

Определение 2. Число I называется пределом интегральных сумм (1), если , что при независимо от выбора точек и способа разбиения выполняется неравенство:

Предел I интегральных сумм (1) при называется интегралом от функции f () по фигуре .

(2)

Если предел (2) существует и не зависит от выбора точек , то функция называется интегрируемой по Риману на компактной фигуре .

Ранее, для определенного интеграла Римана были доказаны свойства сумм Дарбу и свойства интегрируемых функций. Аналогичные теоремы имеют место и здесь. Приведём некоторые из них без доказательства. Пусть функция определена на .

Теорема 1 (необходимый признак). Функция , интегрируемая на компактной фигуре , ограничена на ней.

Теорема 2 (1 достаточный признак). Функция , непрерывная на компактной фигуре с кусочно-гладкой границей, интегрируема на .

Теорема 3 (2 достаточный признак). Функция , непрерывная на компактной фигуре всюду, кроме конечных разрывов на конечном числе гладких кривых или поверхностей составляющих , интегрируема на .

Для каждого типа компактной фигуры интеграл по фигуре имеет своё название и обозначение:

1. Если , то – определённый интеграл Римана.

2. Если , или , то – криволинейный интеграл по длине дуги или криволинейный интеграл I рода.

3. Если и , то – двойной интеграл.

4. Если и , то – поверхностный интеграл I рода.

5. Если , , то – тройной интеграл.