Доказательство. 1.Действительно, из условия (3.1) следует, что при любом является нижней гранью множества

1. Действительно, из условия (3.1) следует, что при любом является нижней гранью множества . Так как наибольшая нижняя грань этого множества, то при любом . Отсюда следует, что верхняя грань множества . Ввиду того, что наименьшая верхняя грань множества , то .

2. Так как число , тоиз свойства точной верхней грани неубывающей последовательности следует, для каждого неравенство

(3.2)

справедливо при всех . Из первого свойства последовательности вытекает при всех . Отсюда и из неравенства (3.2) следует, что при всех справедливы неравенства:

.

3. Так как число , тоиз свойства точной нижней грани невозрастающей последовательности следует, для каждого неравенство

(3.3)

справедливо при всех . Из первого свойства последовательности вытекает при всех . Отсюда и из неравенства (3.3) следует, что при всех справедливы неравенства

. ■

Если для ограниченной последовательности нижний и верхний пределы совпадают, т.е. , то последовательность называется сходящейся, а число называется пределом последовательности . Неограниченная последовательность предела не имеет.

Если число является пределом последовательности , то будем говорить, что она сходится к числу и писать . Предел последовательности обозначают символом , т.е. . Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся. Неограниченная последовательность является расходящейся.