Монотонные последовательности

Последовательность чисел называется неубывающей (возрастающей), если каждый последующий член последовательности не меньше (больше) предыдущего члена, т.е.

.

Если же каждый последующий член последовательности не больше (меньше) предыдущего члена, то последовательность называется невозрастающей (убывающей), т.е.

.

Эти четыре типа последовательностей называются монотонными.

Последовательность , где при всех , называется стационарной. Стационарная последовательность является неубывающей, а также невозрастающей.

Чтобы установить, что последовательность , например, убывает, достаточно доказать, что неравенство при всех . Если же члены последовательности положительны, то последовательность будет убывать, если неравенство при всех .

Свойство точных граней монотонных

последовательностей

1. Число является точной верхней гранью неубывающей или возрастающей последовательности тогда и только тогда для каждого неравенство справедливо при всех .

2. Число является точной нижней гранью невозрастающей или убывающей последовательности , тогда и только тогда, когда для каждого неравенство справедливо при всех .