Примеры. 3.1. Найти предел последовательности ,

3.1. Найти предел последовательности , .

Решение. Последовательность имеет вид:

.

Так как , , то

.

Неубывающая последовательность ограничена сверху числом 0 и . Невозрастающая последовательность ограничена снизу числом и . Итак, , поэтому .

3.2. Последовательность , , предела не имеет.

Решение. Имеем:

;

.

Так как , то последовательность , , предела не имеет.●

Теорема 2.4. Следующие утверждения справедливы.

1. Неубывающая или возрастающая последовательность , ограниченная сверху, сходится, и число является ее пределом.

2. Невозрастающая или убывающая последовательность , ограниченная снизу, сходится, и число является ее пределом.