![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
3.3. Предел стационарной последовательности ,
при любом
, равен
.
Решение. Стационарная последовательность является неубывающей, поэтому ее предел равен .
3.4. Найти предел последовательности , где
,
.
Решение. Последовательность убывающая:
,
и ограниченная снизу числом , поэтому ее предел равен
. Докажем, что число
является точной нижней гранью последовательности
, т.е. для каждого
неравенство
справедливо при всех
(свойство 2 в § 2.2). Имеем:
. Из теоремы 2.1 следует, что неравенство
справедливо при всех
. ●
Лемма (Бернулли).Если , то при любом
справедливо неравенство
, причем
, или
.
Доказательство. Если , или
, то верно
. Если же
и
, то доказательство неравенства проведем методом математической индукции.
Утверждение леммы справедливо, если :
.
Докажем, что из истинности неравенства , следует справедливость неравенства
:
. ■
Число e. Числовая последовательность сходится.
Докажем, что последовательность убывает и ограничена снизу. Используя лемму Бернулли, имеем
,
.
Этим доказано, что последовательность убывает. Так как
, то последовательность
ограничена снизу. Следовательно, эта последовательность имеет предел. Предел последовательности
равен числу
. ■
§ 2.4. Критерий сходимости последовательности
Находить предел последовательности, используя его определение,— достаточно трудоемкий процесс. Поэтому, построим инструменты, при помощи которых будут сформулированы приемы и методы нахождения пределов значительного числа последовательностей.
Теорема 2.5. Следующие условия равносильны.
1. Число является пределом ограниченной последовательности
.
2. Для каждого числа неравенство
справедливо при всех
, начиная с некоторого номера, т.е. при всех
, где
некоторое натуральное число.
3. Для каждого числа окрестность
точки
содержит члены последовательности
при всех
, где
некоторое натуральное число.
1 2. Пусть
и
— произвольное положительное число. Тогда из теоремы 2.3 получаем
:
, если
;
, если
.
Если , то
, если
.
2 3. Расстояние между точками
и
равно
. Следовательно, из условия 2 следует, что для каждого положительного числа
все точки последовательности
находятся от точки
на расстоянии меньше
при всех
, т.е.
при всех
.
3 1. Из условия 3 теоремы 2.5 и теоремы 2.1 следует ограниченность последовательности
. Следовательно, существуют числа
и
. Докажем, что
.
Сначала методом от противного докажем, что . Пусть
и расстояния между точками
и
равно
, т.е.
Возьмем
. Из условия 3 теоремы:
при любом
. Отсюда следует, что неравенство
справедливо при любом
.
Из свойства числа вытекает, что неравенство
справедливо при всех
. Полагаем
. Тогда при всех
имеем:
.
Противоречие. Аналогично доказывается равенство . ■
Следствие. Если последовательность и число
, то неравенство
будет выполняться для всех
.
Доказательство. Рассмотрим случай . Возьмем число
. Каждое число из окрестности
больше числа
. Так как последовательность
, то в окрестность
попадают все члены последовательности
, если
(условие 3 теоремы), т.е.
для всех
. Аналогично рассматривается случай
. ■
Замечание. Еслидля каждого числа неравенство
,
, справедливо при всех
, начиная с некоторого номера, то
.
Доказательство. Возьмем произвольное . Так как
, то неравенство
будет справедливо при всех
. Отсюда, ввиду
, следует справедливость неравенства
при всех
, поэтому
.▲
Теорема 2.5 не содержит указаний для нахождения предела последовательности, но она формулирует условия, при помощи которых можно получить ответ на вопрос: число является пределом последовательности
?
§ 2.5. Связь пределов последовательности и ее
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 1345 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!