Подпоследовательностей

1. Число является пределомпоследовательности

(5.1.)

тогда и только тогда, когда — предел подпоследовательности

. (5.2)

Необходимость. Пусть — произвольная окрестность точки . Так как — пределпоследовательности (5.1), то из условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности (5.1). По условию теоремы только элементов последовательности (5.2) не принадлежит последовательности (5.1). Следовательно, вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности (5.2). Теперь из условия 3 теоремы 2.5 следует, что число является пределомпоследовательности (5.2).

Достаточность доказывается аналогично. ■

Замечание. Из утверждения 1 следует, чтопри нахождении предела последовательности можно «отбросить» любое конечное число ее членов. ▲

2. Если предел последовательности равен , то предел любой ее подпоследовательности также равен .

Доказательство. Пусть — произвольная окрестность точки . Так как — пределпоследовательности , то из условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число ее членов. Подпоследовательность является частью последовательности , поэтому вне окрестности находится лишь конечное число членов подпоследовательности . Теперь из теоремы 2.5 следует, что . ■

Следствие. Последовательность расходится, если выполняется хотя бы одно из следующих условий.

а) Последовательность содержит две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам.

б) Последовательность содержит расходящуюся подпоследовательность.

Доказательство легко получается методом от противного. Если предположить, что последовательность сходится, то сейчас же вступаем в противоречие с утверждением 2. ■

3. Если последовательность есть объединение двух своих подпоследовательностей и , причем , то .

Доказательство. Пусть число . Так как , то из условия 3 теоремы 2.5 вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности . Ввиду и условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности .

По условию теоремы . Значит, вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности , поэтому условие 3 теоремы 2.5 выполняется. Отсюда вытекает, что . ■