Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Решение. а)Последовательность является возрастающей, так как последующий член больше предыдущего



а)Последовательность является возрастающей, так как последующий член больше предыдущего. Эта последовательность неограниченна сверху, так как неравенство выполняется при всех . Следовательно, эта последовательность не имеет точной верхней грани. Элемент является наименьшим ее элементом.

б) Последовательность , и , является убывающей, так как для всех имеем:

.

Отсюда следует, что элемент является наибольшим элементом последовательности.

Докажем, что , т.е. для каждого неравенство справедливо при всех (свойство 2 в § 2.2). Имеем:

Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех .

в) Последовательность является убывающей, если :

для всех .

Следовательно, элемент является наибольшим элементом.

Докажем, что , т.е. для каждого неравенство справедливо при всех (свойство 2 в § 2.2). Имеем:

.

Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех .

г) Последовательность , является возрастающей, если , так как последующий член больше предыдущего. Она неограниченна сверху, так как неравенство выполняется при всех , поэтому последовательность не имеет точной верхней грани. Элемент является наименьшим ее элементом.

д) Последовательность является возрастающей, так как для всех имеем:

,

поэтому элемент является ее наименьшим элементом.

Докажем, что , т.е. для каждого неравенство справедливо при всех (свойство 2 в § 2.2). Имеем:

.

Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех .

2.2. Найти такое натуральное число , что при всех последовательность убывает.

Решение. Имеем следующую цепочку равносильных утверждений:

.

Последнее утверждение в этой цепочке является истиной при всех . Следовательно, отношение также является истиной при всех , поэтому последовательность является убывающей при всех . ●

Теорема 2.2. Каждая числовая последовательность либо содержит убывающую, либо содержит неубывающую подпоследовательность.

Доказательство. Назовем элемент последовательности правильным, если все последующие члены последовательности меньше . Если элемент не является правильным, то будем называть его неправильным.

Если правильных элементов бесконечно много, то они образуют убывающую подпоследовательность: если и — правильные элементы и , то , так как правильный элемент.

Если же правильных элементов конечное множество, то обозначим через наибольший номер этих элементов. Тогда все элементы последовательности, номера которых больше , являются неправильными.

Рассмотрим неправильный элемент , . Так как — неправильный элемент, то среди следующих за ним элементов найдется такой элемент , что , . Элемент тоже неправильный ( и среди следующих за этим элементов найдется такой элемент , что . Продолжая процесс построения элементов таким образом далее, получим неубывающую подпоследовательность .■

Задачи

2.1. Доказать монотонность последовательностей:

а) , б) , в) , г) .

2.2. Найти точные грани следующих последовательностей :

a) ; б) ; в) .

2.3. Найти точную верхнюю грань следующих последовательностей:

а) ;

б) .

(Указание: представить член последовательности в виде суммы слагаемых).

2.4. Найти такое натуральное число , чтобы при всех последовательность была монотонной:

a) , б) !.

2.5. Доказать, что каждая последовательность содержит либо возрастающую последовательность, либо невозрастающую последовательность.





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 286 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...