![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
а)Последовательность является возрастающей, так как последующий член больше предыдущего. Эта последовательность неограниченна сверху, так как неравенство
выполняется при всех
. Следовательно, эта последовательность не имеет точной верхней грани. Элемент
является наименьшим ее элементом.
б) Последовательность ,
и
, является убывающей, так как для всех
имеем:
.
Отсюда следует, что элемент является наибольшим элементом последовательности.
Докажем, что , т.е. для каждого
неравенство
справедливо при всех
(свойство 2 в § 2.2). Имеем:
Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех
.
в) Последовательность является убывающей, если
:
для всех
.
Следовательно, элемент является наибольшим элементом.
Докажем, что , т.е. для каждого
неравенство
справедливо при всех
(свойство 2 в § 2.2). Имеем:
.
Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех
.
г) Последовательность , является возрастающей, если
, так как последующий член больше предыдущего. Она неограниченна сверху, так как неравенство
выполняется при всех
, поэтому последовательность
не имеет точной верхней грани. Элемент
является наименьшим ее элементом.
д) Последовательность является возрастающей, так как для всех
имеем:
,
поэтому элемент является ее наименьшим элементом.
Докажем, что , т.е. для каждого
неравенство
справедливо при всех
(свойство 2 в § 2.2). Имеем:
.
Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех
.
2.2. Найти такое натуральное число , что при всех
последовательность
убывает.
Решение. Имеем следующую цепочку равносильных утверждений:
.
Последнее утверждение в этой цепочке является истиной при всех . Следовательно, отношение
также является истиной при всех
, поэтому последовательность
является убывающей при всех
. ●
Теорема 2.2. Каждая числовая последовательность либо содержит убывающую, либо содержит неубывающую подпоследовательность.
Доказательство. Назовем элемент последовательности
правильным, если все последующие члены последовательности меньше
. Если элемент
не является правильным, то будем называть его неправильным.
Если правильных элементов бесконечно много, то они образуют убывающую подпоследовательность: если и
— правильные элементы и
, то
, так как
правильный элемент.
Если же правильных элементов конечное множество, то обозначим через наибольший номер этих элементов. Тогда все элементы последовательности, номера которых больше
, являются неправильными.
Рассмотрим неправильный элемент ,
. Так как
— неправильный элемент, то среди следующих за ним элементов найдется такой элемент
, что
,
. Элемент
тоже неправильный (
и среди следующих за этим элементов найдется такой элемент
, что
. Продолжая процесс построения элементов таким образом далее, получим неубывающую подпоследовательность
.■
Задачи
2.1. Доказать монотонность последовательностей:
а) , б)
, в)
, г)
.
2.2. Найти точные грани следующих последовательностей :
a) ; б)
; в)
.
2.3. Найти точную верхнюю грань следующих последовательностей:
а)
;
б)
.
(Указание: представить член последовательности в виде суммы
слагаемых).
2.4. Найти такое натуральное число , чтобы при всех
последовательность
была монотонной:
a) , б)
!.
2.5. Доказать, что каждая последовательность содержит либо возрастающую последовательность, либо невозрастающую последовательность.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 286 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!