Доказательство. 1.Интервал содержит все члены последовательности , кроме членов

1. Интервал содержит все члены последовательности , кроме членов . Число является верхней гранью последовательности , а число — нижняя грань последовательности . Следовательно, последовательность ограничена.

2. Неравенство справедливо при всех , где (число равно , если ; если же , то ). Следовательно, неравенство справедливо при всех .

3. Если неравенство справедливо для всех членов последовательности с номерами , то неравенство также справедливо при всех .■

В последовательности выберем элемент, номер которого обозначим символом . Затем выберем другой элемент — , номер , и так далее. Получим последовательность элементов

, причем ,

которая называется подпоследовательностью последовательности и обозначается символом . Заметим, что в последовательности номером члена является число , а — его номер в последовательности . Члены подпоследовательности можно обозначить новыми буквами:

.

Иными словами, подпоследовательность — это бесконечная часть последовательности, в которой следование одного элемента за другим остается таким же, как и в исходной последовательности. Например, последовательности , , являются подпоследовательностями последовательности .

Чтобы доказать, что последовательность является подпоследовательностью последовательности надо установить, что а) каждый элемент является членом последовательности , т.е. , б) .

Примеры

1.2. Доказать, что последовательность , , является подпоследовательностью последовательности , .

Решение. Так как , то , и , поэтому последовательность является подпоследовательностью последовательности .

1.3. Доказать, что последовательность , , является подпоследовательностью последовательности , .

Решение. Так как , то , и , поэтому последовательность является подпоследовательностью последовательности .●

Над числовыми последовательностями будем выполнять арифметические действия по правилам:

a) ; б) + ; в) ;

г) , если при всех .

Задачи

1.1. Изобразить на координатной прямой числовые последовательности и найти среди них неограниченные последовательности:

a) ; б) ; в) , г) ; д) .

1.2. Доказать, что последовательность является подпоследовательностью последовательности :

a) , ; б) , ; в) ,