Гармонический ряд

Ряд

называется гармоническим рядом.

Теорема. Гармонический ряд сходится при и расходится при .

Доказательство.

Рассмотрим варианты.

1. .

В этом случае гармонический ряд принимает вид

.

Рассмотрим группу слагаемых следующего вида:

.

Очевидно, что в этой группе всего п слагаемых и самым маленьким является последнее слагаемое. Поэтому

.

Теперь в ряде сгруппируем слагаемые следующим образом

.

Группа соответствует п = 2, группа - п = 4 и т.д. Но тогда

и поэтому , то есть ряд расходится.

2. .

Но в этом случае , и поэтому , то есть , и поэтому в этом случае ряд расходится.

3. .

В этом случае и . Рассмотрим группу слагаемых вида

.

В этой группе п слагаемых и каждое из них меньше . Поэтому имеем

.

Теперь сгруппируем в гармоническом ряде слагаемые в группы

.

Группа соответствует п = 2 и поэтому не превосходит ; Группа соответствует п = 4 и поэтому не превосходит ; последующая группа не превосходит и т.д.

Окончательно получим

.

Но стоящий в скобках ряд есть геометрическая прогрессия с ; поэтому он сходится и, по теореме 2, сходится и ряд . <

Следствие. Пусть существует . Тогда при ряд сходится, а при - расходится.

Доказательство. Рассмотрим ряд с . Тогда при выполнении условия сходятся или расходятся одновременно (см. теорему 4). <

Заметим, что это не означает, что сходимость любого ряда можно выяснить с помощью этого признака. Например, для ряда при любом и следствие не работает.