Признаки сходимости для рядов с положительными членами

Как и в случае несобственных интегралов, важнейшим элементом теории числовых рядов является следующий: надо, не вычисляя ряда, ответить на вопрос, сходится он или нет. В конце концов, если он сходится, то его можно вычислить численно на ЭВМ, а вот если он расходится - попытки сосчитать его численно ни к чему хорошему не приведут.

В данном разделе будут

Рассмотрены признаки сходимости рядов с положительными членами. Итак, пусть даны два ряда и и выполнено условие и .

Теорема 1. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы

.

Доказательство. Имеем: и поэтому с ростом п . По теореме о существовании предела монотонно возрастающей последовательности, для существования конечного необходимо и достаточно,

. <

Теорема 2. Пусть даны два ряда (ряд А) и (ряд В) с положительными членами и выполнено условие . Тогда из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А - расходимость ряда В.

Доказательство.

1. Пусть ряд В сходится Þ . Но Þ ряд А сходится.

2. Пусть ряд А расходится. Так как в этом случае , то это означает, что . Но так как , то и поэтому и ряд В расходится. <

Замечание. Так как Отбрасывание или изменение конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости, то условие может выполняться лишь .