Признак сходимости Коши

Пусть существует . Тогда

если с < 1, то ряд сходится;

если с > 1, то ряд расходится;

если с = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть решен на основании данного признака.

Этот признак сходимости носит название признака Коши.

Прежде, чем доказывать признак Коши рассмотрим ряд , который называется геометрической прогрессией. Его частные суммы равны

.

Рассмотрим теперь возможные варианты.

1. Пусть . Тогда и поэтому и ряд сходится.

2. Пусть . Тогда общий член ряда не стремится к нулю и, по признаку расходимости, ряд расходится.

Таким образом, ряд сходится при и расходится при .

А теперь

Доказательство.

Прежде всего заметим, что существование означает, что

.

А теперь - варианты.

1. Пусть . Возьмем e настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд сходится, и, по теореме 2, сходится и ряд .

2. Пусть . Возьмем e настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд расходится, и, по теореме 2, расходится и ряд . <

Теорема 3. Если " п выполнено условие , то из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А - расходимость ряда В.

Доказательство.

Имеем следующую цепочку неравенств

; ; ; … .

Перемножая эти неравенства, получаем

, или .

Ссылка на теорему 2 и доказывает эту теорему. <