Признак Даламбера

Пусть существует . Тогда

если D < 1, то ряд сходится;

если D > 1, то ряд расходится;

если D = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть рншен на основании данного признака.

Доказательство.

Прежде всего заметим, что существование означает, что

.

1. Пусть . Возьмем e настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд сходится, и, по теореме 3, сходится и ряд .

2.. Пусть . Возьмем e настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд расходится, и, по теореме 3, расходится и ряд . <

Теорема 4. Пусть существует и . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство.

1. Прежде всего отметим, что существование означает, что

.

2. Пусть ряд сходится. Но тогда ряд также сходится, и, так как , то, по теореме 2, сходится и ряд .

3. Так как , то всегда можно взять e настолько малым, чтобы было . Пусть теперь ряд сходится. Но тогда сходится и ряд и, так как , то, по теореме 2, сходится и ряд . <