Простейшие свойства сходящихся рядов

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.

Доказательство.

Имеем:

- частная сумма исходного ряда и

- частная сумма остатка ряда после п -го слагаемого. Очевидно, что между этими величинами имеет место соотношение

Если ряд сходится Þ Þ Þ остаток ряда после п -го слагаемого.

Далее, , и поэтому

Если сходится остаток ряда после п -го слагаемого Þ Þ Þ исходный ряд сходится.

Обратите внимание на важное для дальнейшего соотношение .

Следствие. Отбрасывание или изменение конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости.

2. Если ряд сходится, то .

Действительно, из соотношения получаем

.

3. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .

Действительно, из определения частных сумм легко видеть, что . Поэтому

Следствие. (важно!) Признак расходимости ряда.

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

4. Если ряд сходится, то ряд тоже сходится и верно соотношение

. Действительно, для частных сумм наших рядов имеем

;

Делая предельный переход , получаем

.

5. Если ряды и сходятся, то ряд тоже сходится и верно соотношение

.

Действительно, из определения частных сумм рядов получаем

; ; .

Отсюда видно, что между частными суммами рядов верно соотношение

.