![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.
Доказательство.
Имеем:
- частная сумма исходного ряда и
- частная сумма остатка ряда после п -го слагаемого. Очевидно, что между этими величинами имеет место соотношение
Если ряд сходится Þ Þ
Þ остаток ряда после п -го слагаемого.
Далее, , и поэтому
Если сходится остаток ряда после п -го слагаемого Þ Þ
Þ исходный ряд сходится.
Обратите внимание на важное для дальнейшего соотношение .
Следствие. Отбрасывание или изменение конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости.
2. Если ряд сходится, то
.
Действительно, из соотношения получаем
.
3. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть
.
Действительно, из определения частных сумм легко видеть, что . Поэтому
Следствие. (важно!) Признак расходимости ряда.
Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.
4. Если ряд сходится, то ряд
тоже сходится и верно соотношение
. Действительно, для частных сумм наших рядов имеем
;
Делая предельный переход , получаем
.
5. Если ряды и
сходятся, то ряд
тоже сходится и верно соотношение
.
Действительно, из определения частных сумм рядов получаем
;
;
.
Отсюда видно, что между частными суммами рядов верно соотношение
.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 162 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!