Примеры решения задач к главе 4

Пример 5.1. Найдем интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию и применим непосредственное интегрирование

Пример 5.2. Найдем интеграл

Решение. Так как производная , то внесем под знак дифференциала

Пример 5.3. Найдем интеграл

Решение. Так же как и в предыдущем примере, выражение можно записать как поэтому

Пример 5.4. Найдем интеграл

Решение. Здесь поэтому данный интеграл представляем в виде:

.

Внеся под знак дифференциала, получим

т. е. переменной интегрирования является 3соs х.

Следовательно, интеграл берется по формуле VI:

Пример 5.5. Найдем интеграл

Решение. Произведем подстановку

, т. е. .

Найдем дифференциал

Отсюда получаем

Пример 5.6. Найдем интеграл

Решение. Произведем подстановку тогда .

Выразим и найдем

Подставив в исходный интеграл, получим

Применив формулу XVIII, получим

Подставив в исходный интеграл, получим Найдем интеграл

Решение. Произведем подстановку ; тогда — т. е. .

Подставив в исходный интеграл, получим

(использовали формулу XX).

Пример 5.7. Найдем интеграл

Решение. Применим подстановку ; тогда , , тогда

(см. формулу XXI).

Итак,

Пример 5.8. Найдем интеграл

Решение. Преобразуем знаменатель дроби, выделив полный квадрат

.

Произведем подстановку ; тогда .

Отсюда

,

(см. формулу XVIII).

Таким образом,

Пример 5.9. Найдем интеграл

Решение. Положим , тогда и

(применили формулу ХIX).

Итак,

Пример 5.10. Найдем интеграл

Решение.

Пусть , , тогда , .

По формуле интегрирования по частям находим

Пример 5.11. Найдем интеграл

Решение. Положим , ; тогда , .

Применяем формулу интегрирования по частям:

Мы добились понижения степени х на единицу.

Чтобы найти , применим еще раз интегрирование по частям.

Полагаем , ; тогда ,

Пример 5.12. Найдем интеграл

Решение. Применяем формулу интегрирования по частям.

Пусть , ; тогда , .

Следовательно,

Еще раз проинтегрируем по частям.

Приняв , , откуда , .

Получаем

т. е.

Применив дважды формулу интегрирования по частям, мы в правой части снова получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом I. Из этого уравнения находим

т. е.

Такого вида интегралы носят название «круговые».

Пример 5.13. Найдем интеграл если

Решение. Положим , , откуда , .

Следовательно,

или

Выразим данный интеграл из полученного равенства

Пример 5.14. Найдем интеграл

Решение. Выполним преобразование подынтегральной функции и проинтегрируем

Пример 5.15. Найдем интеграл

Решение. Выполним преобразование подынтегральной функции и проинтегрируем

Пример 5.16. Найдем интеграл

Решение. Выполним преобразование подынтегральной функции

В первом интеграле произведем замену , , а во втором интеграле положим , .

Отсюда

Возвращаясь к старой переменной, получаем

Пример 5.17. Найдем интеграл

Решение. Дан интеграл от иррациональной функции 1-го вида.

Здесь поэтому .

Применим подставку ; тогда и, следовательно,

Возвратимся к старой переменной. Так как , то

Пример 5.18. Найдем интеграл .

Решение. Данный интеграл от иррациональной функции 2-го вида. Преобразуем подкоренное выражение и внесем под знак дифференциала:

Пример 5.19. Найдем интеграл .

Решение. Выделим в числителе производную подкоренного выражения:

Пример 5.20. Найдем интеграл .

Решение. Дан интеграл от тригонометрической функции.

Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем .

Отсюда .

Таким образом,

.

Следовательно,

.

Пример 5.21. Найдем интеграл .

Решение. Дан интеграл от тригонометрической функции. Применим формулу (3)

.

Пример 5.22. Найдем интеграл

Решение. Применим к произведению формулу (2):

Снова используя ту же формулу, находим