Метод замены переменной

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1) , где – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной .

Формула замены переменной в этом случае имеет вид

,

2) , где – новая переменная.

Формула замены переменной при такой подстановке:

Например, найдем интеграл

С помощью замены переменной данный интеграл можно сразу свести к табличному.

Полагая , имеем, т. е. .

Отсюда получаем

Если интеграл является табличным, то интеграл может быть найден с помощью подстановки

Например, применим эту подстановку к интегралу

Имеем и

Следовательно,

Возвратившись к старой переменной, получаем

Аналогично можно показать, что

и т. д.

При нахождении интеграла подстановки можно фактически и не производить. Здесь достаточно принять во внимание, что Таким образом,

где – первообразная для .

Полученную формулу часто называют формулой расширения.

Например, найдем интеграл

Применяя формулу расширения, имеем:

.

Вообще, если подынтегральная функция является произведением двух множителей, один из которых зависит от некоторой функции , а другой является производной этой функции (с точностью до постоянного множителя), то целесообразно сделать замену переменной по формуле

Например, найдем интеграл

Перепишем данный интеграл в виде

Так как производная выражения равна , а второй множитель отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку

Тогда Следовательно,

Рассмотрим интеграл

Числитель дроби есть производная знаменателя.

Произведем подстановку Тогда и

Таким образом, интеграл дроби, числитель которой есть производная знаменателя, равен натуральному логарифму модуля знаменателя.

Например,

Здесь знак модуля опущен, так как

Рассмотрим интеграл

Положим Тогда и

Заметим, что данный интеграл можно было найти с помощью подстановки