Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби

Перед интегрированием рациональной дроби Р(x)/Q(х) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде

где М (х) – многочлен, a – правильная рациональная дробь;

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

где , т. е. трехчлен имеет комплексные сопряженные корни;

3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби:

4) вычислить неопределенные коэффициенты

для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

В результате интегрирование рациональной дроби исходный интеграл сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.

Например, найдем интеграл

Так как каждый из двухчленов , , входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I типа:

Освобождаясь от знаменателей, получим

Следовательно,

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений

из которой найдем , , .

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

Таким образом,