Преломление света на сферической поверхности. Соотношение Аббе

Сферические преломляющие поверхности представляют собой важнейший вид поверхностей, ограничивающих оптические стекла. Преломление света на этих поверхностях является основным явлением, которое приводит к образованию изображений оптическими системами.

На рисунке 3.28 изображено преломление света на сферической поверхности, разделяющей две среды I и II с показателями преломления n и n' Точка А служит источником света (предметом);

А ' – его изображение; r – радиус кривизны сферической поверхности; С – центр кривизны; Z Z' – главная оптическая ось; точка О — вершина сферичес-кой поверхности; а и b – расстояния предмета и его изображения от верши-ны О.

Рис. 3.28

Рассмотрим ход луча L, который, выйдя из источника А под углом и к оси, встречает сферическую поверхность в точке М и, преломившись, идет во второй среде в точку А ' под углом и' к оси. Радиус МС наклонен к оси Z под углом и". Как и для случая зеркал, примем за начало отсчета вершину О поверхности, направления вправо от вершины и вверх от оси ZZ' будем считать положительными, влево и вниз – отрицательными. Явления нами рассматриваться будут для случая параксиальной оптики, т.е. когда расстояния h малы по сравнению с радиусом г, а углы и,и', и" малы.

Из рисунка 3.28 имеем:

i – i' = u + u’ и i = u + u" (3.13)

На основе закона преломления с учетом малости углов можно написать:

n·i = n’i' (3.14)

Умножив первое уравнение (3.13) на n' ", а второе – на (n' – n) и заменив n’i' на n·i по формуле (3.14), будем иметь:

(n’ – n) i = n’ u + n’ и' и (n’ – n) i = (n’ – n)·(u + u") (3.15)

Откуда n’ u + n’ и' = (n’ – n)·(u + u"). (3.16)

Согласно рисунку 3.28 в соответствии с правилом знаков и малости всех углов и,и', и" находим, что

, , (3.17)

Подставляя в (3.16) имеем: .

После сокращения на h и приведения подобных членов получаем

(3.18)

Полученное уравнение называется соотношением Аббе. Если ввести относительный показатель преломления , то (3.18) примет вид

(3.19)

Из уравнения (3.19) нетрудно найти положение фокусов сферической преломляющей поверхности.

Если лучи света падают на поверхность параллельным пучком (L || ZZ') то а = – ∞Величину b = f ' называют задним фокусным расстоянием. Из (3.18) для него получаем:

(3.20)

п' — п

Если же, наоборот, b = ∞, то а = f, где f – переднее фокусное расстояние. Из (3.19) для него следует формула:

(3.21)

Найденные в этом параграфе количественные соотношения позволяют перейти к рассмотрению важнейших элементов оптических систем – линз, т.е. прозрачных тел, ограниченных двумя сферическими поверхностями, вершины которых лежат на одной прямой.

Рис. 3.29.

Тонкие линзы – двояковыпуклые (радиус сферических поверхностей +R₁ и R₂), 3 на рис 3.29, плоско - выпуклые (R₁ =∞ и R₂), 4 на рис 3.29 и выпукло-вогнутые (+R₁ и –R₂ при |R₁|<|R₂|) 2 на рис 3.29 – обладают следующими свойствами:

a) Лучи, падающие параллельным пучком на линзу, после преломления идут сходящимся пучком и пересекаются в одной точке, называемой фокусом. (Такие линзы поэтому называют собирающими.) Геометрическое место фокусов представляет собой плоскость, ограничивающих линзу – плоскости линзы. Расстояние между фокальной плоскостью и плоскостью линзы называют фокусным расстоянием F; величину, обратную этому расстоянию, – оптической силой линзы.

b) Лучи, падающие на линзу параллельно какой – либо оптической оси, после преломления проходят через фокус, лежащий на этой оси.

c) Для тонкой собирающей линзы имеет место та же формула, что и для вогнутого зеркала.

При построении изображения светящейся точки (предмета) из всего потока лучей, падающих на линзу, выбирают два из следующих трех характерных лучей:

I – луч, проходящий через оптический центр линзы. Этот луч проходит через линзу не преломляясь;

II – луч, идущий параллельно какой–либо оптической оси. После преломления этот луч должен пройти через фокус, лежащий на этой оптической оси (если светящаяся точка лежит на главной оптической оси, для построения изображения нужно провести побочную оптическую ось);

III – луч, проходящий через передний фокус линзы. В силу обратимости хода лучей такой луч после преломления должен идти параллельно главной оптической оси.

Линейное увеличение предмета, даваемое собирающей линзой, определяют по формуле:

.

Площадь S изображения предмета оказывается при этом увеличенной в число раз, равное

,

где S₀ – площадь предмета.

4. Тонкие двояковогнутые (с радиусом сферических поверхностей –R₁ и R₂) 6 на рис 3.29, плоско - вогнутые (R₁ =∞ и -R₂) 1 на рис 3.29 и вогнуто- выпуклые линзы(-R₁ и +R₂ при | R₁|< |R₂|) 5 на рис 3.29 обладают следующими основными свойствами:

а) Если лучи падают на линзу параллельным пучком, то после преломления они расходятся так, что их продолжения пересекаются в одной точке, называемой фокусом. Геометрическое место фокусов представляет собой плоскость, параллельную плоскости линзы.

б) Если лучи падают на рассеивающую линзу параллельно какой-либо оси, то после преломления они идут так, что своим продолжением попадают в фокус, лежащий на этой оси.

в) Для тонкой рассеивающей линзы имеют место те же формулы, что и для выпуклого зеркала, с теми же правилами знаков перед d и f:

; .

г) При построении изображения точки в рассеивающей линзе пользуются лучом, идущим параллельно какой-либо оптической оси, и лучом, проходящим через оптический центр.

При решении задач на прохождение световых лучей сквозь линзы и получении изображения в них прежде всего выясните, о какой линзе идет речь: собирающей или рассеивающей. Формула, определяющая зависимость фокусного расстояния F от показателя преломления n вещества линзы и радиусов кривизны ее поверхностей R₁ и R₂:

.

Если линза плоско- выпуклая, то ее плоская поверхность имеет бесконечно большой радиус кривизны, т.е. R₁ =∞ и . При этом последняя формула принимает вид:

, R₂ = R.

Если поверхность вогнутая, то ее радиус кривизны отрицателен, а если выпуклая – положителен. Соответственно, если линза двояковыпуклая, то R₁>0 и R₂>0, если выпукло- вогнутая, то R₁<0 и R₂<0. при этом ее фокус мнимый и F<0.

Прямая mn, проходящая через центры О₁ иО₂ сфер, из которых образована линза, называется ее главной оптической осью. Точка F, в которой пересекаются после преломления лучи, падающие на собирающую (двояковыпуклую) линзу параллельно ее главной оптической оси, называется действительным фокусом линзы.

У рассеивающей (двояковогнутой) линзы фокус F мнимый, поскольку в нем пересекаются мнимые продолжения рассеянных лучей, упавших на линзу параллельно ее главной оптической оси.

Любой луч, идущий через главный оптический центр тонкой линзы О, не преломляется. Если такой луч падает на линзу под углом к главной оптической оси, то он называется побочной осью.

Плоскость cd, проходящая через главный оптический центр линзы перпендикулярно ее главной оптической оси, называется главной плоскостью линзы.

Плоскость ab, проходящая через фокус линзы F перпендикулярно ее главной оптической оси mn, называется главной фокальной плоскостью линзы. Главная фокальная плоскость ab собирающей линзы является геометрическим местом точек, в которых пересекаются параллельные лучи, падающие на линзу под любым углом к главной оптической оси. Главной фокальной плоскостью ab рассеивающей линзы является геометрическое место точек, в которых пересекаются мнимые продолжения рассеянных лучей, падающих на рассеивающую линзу под любым углом к ее главной оптической оси параллельным пучком.

3.8 Глаз человека

Глаз человека является своеобразным оптическим прибором, занимающим в оптике особое место. Это объясняется, во-первых, тем, что многие оптические инструменты рассчитаны на зрительное восприятие, во-вторых, глаз человека, как усовершенствованная в процессе эволюции биологическая система, приносит в рамках бионики некоторые идеи по конструированию и улучшению оптических систем.

Для медиков глаз не только орган, способный к функциональным нарушениям и заболеваниям, но и источник информации о некоторых болезнях организма человека.

Остановимся кратко на строении глаза человека (Рис. 29) Собственно глазом является глазное яблоко, имеющее не совсем правильную шаровидную форму (в среднем для взрослого человека): вертикальный размер глаза – 23,4 мм, горизонтальный – 23,6 мм и переднезадний – 24,3 мм. Стенки глаза состоят из трех концентрических расположенных оболочек – наружной, средней и внутренней. Наружная белковая оболочка – склера (1 на рис. 3.29) – в передней части глаза превращается в прозрачную выпуклую роговую оболочку (2) – роговицу. Толщина роговицы в центре около 0,6 мм, на периферии – до 1 мм. По оптическим свойствам роговица – наиболее сильно преломляющая часть глаза. Она является как бы окном, через которое в глаз проходят лучи света. Радиус кривизны роговицы примерно 7–8 мм, показатель преломления ее вещества 1,38. Наружный покров роговицы переходит в конъюнктиву (3), прикрепленную к векам.

К склере примыкает сосудистая оболочка (4), внутренняя поверхность выстлана слоем темных пигментных клеток, препятствующих внутреннему диффузному рассеянию света в глазу. В передней части глаз сосудистая оболочка переходит в радужную (5), в которой имеется круглое отверстие – зрачок (6). Непосредственно к зрачку со внутренней стороны глаза примыкает хрусталик (7) – прозрачное и упругое тело, подобное двояковыпуклой линзе. Диаметр хрусталика 8–10 мм, радиус кривизны передней поверхности в среднем 10 мм, задней – 6 мм. Показатель преломления вещества хрусталика немного более 1,4.

Между роговицей и хрусталиком расположена передняя камера (8) глаза, она заполнена водянистой средой – жидкостью, близкой по оптическим свойствам к воде. Вся внутренняя часть глаза от хрусталика до задней стенки занято прозрачной студенистой массой, называемой стекловидным телом (9). Показатель преломления стекловидного тела такой же, как и водянистой среды.

Зрительный нерв (10) входит в глазное яблоко через заднюю стенку; разветвляясь, он переходит в самый внутренний слой глаза – сетчатку, или ретину (11), являющуюся световоспринимающим (рецепторным) аппаратом глаза. Сетчатка состоит из нескольких слоев и неодинакова по все толщине и чувствительности к свету, в ней находятся светочувствительный зрительные клетки, периферические концы которых имеют различную форму. Продолговатые окончания называют палочками, конусообразные – колбочками. Длина палочек 63–81 мкм, диаметр около 1,8 мкм, для колбочек соответственно длина – 35 мм, а диаметр 5–6 мкм. На сетчатке глаза человека расположено около 130 миллиона палочек и 7 миллионов колбочек.

В месте вхождения зрительного нерва находится не чувствительная к свету слепое пятно (12). В средине сетчатке, чуть ближе к височной области лежит самое чувствительное к свету желтое пятно (13), центральная часть которого имен диаметр около 0,4 мм.

Колбочки и палочки распределены по сетчатке неравномерно. Колбочки расположены главным образом в центральной части сетчатки, в желтом пятне, в центре желтого пятна находятся исключительно колбочки, а на краях сетчатке – только палочки.