Отражение света. Плоское зеркало

Закон отражения света, известен с давних времен. Этот вопрос возникает при рассмотрении падения луча S на отражающую (зеркальную) поверхность АВ (Рис. 3.3). Угол между перпендикуляром ОN и падающим лучом SO называется углом падения, ÐSON = α.. Угол между перпендикуляром ОN и отраженным лучом OS¢ называется углом отражения, ÐNOS¢ = β. Угол между лучом и плоскостью отражения АВ называется углом скольжения, ÐSON = θ.

Рис. 3.3

Закон отражения включает в себя две позиции.

1) Луч падающий и отраженный, а так же перпендикуляр, восстановленный в точке отражения луча лежат в одной плоскости.

2) Угол падения луча равен углу отражения.(угол α = β)

В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма, согласно которому, д ействительный путь распространения света (луч) есть путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время по сравнению с любым другим мыслимым путем между теми же точками. Этот принцип можно получить как следствие уравнения эйконала.

2

dl

Рис. 3.

Для прохождения участка пути dl (рис. 3.4) свету требуется время dt = dl/ v, где v – скорость света в данной точке среды. Заменив v через , получим, что . Следовательно, время t, затрачиваемое светом на прохождение пути от точки 1 до точки 2, равно

Так как , то

Пропорциональность времени прохождения t оптической длине пути L дает возможность сформулировать принцип Ферма следующим образом: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна. Точнее, оптическая длина пути должна быть экстремальной, т.е. либо минимальной, либо максимальной, либо стационарной – одинаковой для всех возможных путей. В последнем случае все пути света между двумя точками оказываются таутохронными (требующими для своего прохождения одинакового времени).

Примером стационарного значения времени служит случай отражения лучей от внутренней поверхности эллипсоида вращения, в одном из фокусов которого расположена светящаяся точка Р (рис. 3.5). Изображение Q получается в другом фокусе, причем согласно свойству эллипсоида (РО + OQ) есть постоянная для всех положений О. Отражение от поверхности меньшей кривизны (ММ), например от плоскости, касательной к эллипсоиду, соответствует минимуму, а отражение от поверхности большей кривизны (NN) — максимуму длины пути (или времени).

Рис. 3.5.

Эта теорема была сформулирована Ферма как общий закон распространения света (принцип Ферма, около 1660 г.). Действительно, нетрудно видеть, что для однородной среды этот принцип приводит к закону прямолинейного распространения согласно геометрической аксиоме о том, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками; для случая же перехода через границу различных сред этот принцип дает законы отражения и преломления света.

Применим принцип Ферма для доказательства закона отражения света в однородной среде. Рассмотрим рисунок (Рис. 3.6). Принцип Ферма требует, что бы путь SOS’ минимален. Так же очевидно, что если симметрично отразить точку S’ в зеркале АВ, то получим точку S". Кратчайшее расстояние между точками S и S" будет прямая SS", а точка О, образованная пересечением прямыми SS" и АВ является точкой отражения света от зеркала АВ. Понятно, что длина ломанных АО¢В и АО"В больше прямой SОS". Для выполнения минимальности длины пути (времени прохождения по пути) SОS" необходимо что бы лучи SО, ОS" и перпендикуляр ОN лежали в одной плоскости.

Рис. 3.6.

Для понимания основных закономерностей в явлениях отражения наиболее целесообразно рассмотреть отражение от плоских и сферических зеркал. Обычно зеркала для оптических систем изготовляются в виде весьма точных плоскостей или сфер из стекла, на поверхность которых наносится испарением в вакууме или химическим путем слой металла (серебра, алюминия, меди и др.), дающий высокий коэффициент отражения света. Наряду с таким способом применяется способ изготовления их из цельного куска металла, например алюминия. Такие отражатели большого размера могут быть применены для целей астрономии, в прожекторных системах и т. д. Отражение света на плоских и сферических поверхностях, хотя и с меньшим коэффициентом отражения, имеет место и от поверхностей диэлектриков, из которых изготовляют оптические детали: плоскопараллельные пластинки, призмы, линзы и т. д. Ход лучей при отражении света от плоской поверхности S изображен на рисунке 5. Свет идет от точечного источника, т. е. источника, имеющего малые размеры по сравнению с его расстоянием h от зеркала. Из точек отражения С и В двух лучей АВ и АС проведем нормали NN₁ и N'N'₁ к поверхности S и построим углы С'СN=АСN и В'ВN' = АВN'. Луч СС' представляет собой отраженный луч для луча АС, а луч ВВ' — отраженный луч для луча АВ. Продолжим луч СС' до пересечения с прямой AА', прове­денной перпендикулярно к поверхности S. Луч СС' пересечется с АА' в точке А'. Из построения следует, что С'СВ =А'СD = АСD. Следовательно, треугольники АСD и А'СD равны между собой, откуда следует равенство: АD = А'D.

N’ N A

C’

B’ 1 h

2

D S

B C

2’

1’

N₁’ N₁

A’

Рис. 3.7.

Итак, мы доказали, что после отражения от плоского зеркала лучей, исходящих из точечного источника, они идут так, как будто вышли из мнимого источника, находящегося позади зеркала на перпендикуляре к его плоскости на расстоянии, равном расстоянию действительного источника от плоскости зеркала. В рассмотренном нами случае (рис. 3.7) таким мнимым источником является точка A'.

Изображение произвольного предмета может быть построено путем построения изображений точек, из которых состоит предмет. На рисунке 3.8 показан пример такого построения изображения протяженного предмета АВ в зеркале S.

Плоские зеркала находят широкие применения в самых разнообразных оптических приборах для целей изменения направления хода лучей, для деления лучей на несколько частей и т. д. Очень важным применением плоских зеркал является поворот луча света точно в обратном направлении.

Это достигается с помощью так называемого уголкового отражателя, представляющего собой совокупность трех плоских зеркал, поставленных под прямым углом друг к другу. Луч света, падающий на уголковый отражатель, возвращается практически в обратном направлении. В настоящее время такие отражатели используются не только в приборах, применяемых в земных условиях, но и для исследований в космосе.

3.3. Отражение света от сферических поверхностей. Сферические зеркала.

Рассмотрим теперь явление отражения света от сферического зеркала. Сферическое зеркало называется выпуклым, если отражение происходит от внешней поверхности сферического сегмента, т.е. если центр зеркала (точка О) находится от наблюдателя дальше, чем края зеркала (Рис. 3.9 а). Сферическое зеркало называется вогнутым, если отражающий поверхностью служит внутренняя сторона сферического сегмента, т.е. если центр зеркала (точка О) находится к наблюдателя ближе, чем края зеркала (Рис. 3.9 б).

Упростим рассмотрение вопроса введением одного существенного ограничения. Будем сначала рассматривать только прохождение лучей, незначительно удаленных от оси симметрии сферического сегмента ZZ', которая называется главной оптической осью зеркала (рис. 3.9.).

Такие лучи называются параксиальными лучами, а совокупность явлений в оптических системах при таком ходе лучей получила название параксиальная оптика. В этом случае ввиду малости углов наклона световых лучей к оптической оси и нормали к отражающей поверхности зеркала можем заменить значения тангенсов и синусов этих углов значениями самих углов в радианной мере.

Рассмотрим ход лучей от точечного источника S, лежащего на оптической оси ZZ₁ вогнутого зеркала (Рис. 3.10). Точка О – центр сферической поверхности зеркала АZ₁В, называется оптическим центром зеркала. ОN – радиус сферического зеркала равен R.

Рис. 3.10

Для построения изображения точки S в параксиальном приближении достаточно провести два разных луча, например, луч вдоль главной оптической оси SZ₁ и луч SN, который падает под углом δ на поверхность сферического зеркала и по закону отражения отражается под тем же углом δ. Введем обозначения: SZ₁ = a, S₁Z₁ = b, углы Ð NSO = α, ÐNOK = β, ÐNS₁К = γ и NК = h ≈ дуге NZ₁.

Для треугольника SNO, угол β – внешний и, следовательно

β = α + δ (3.1)

Для треугольника ОNS₁, угол γ внешний и, следовательно

γ = β + δ (3.2)

Исключая из этой системы δ получим уравнение:

2β = α + γ (3.3)

Используя, условие параксиальности лучей можно написать следующие соотношения:

α ≈ , β ≈ , γ ≈

Подставив эти соотношения в (3.3) получим или, сократив на h, получим . Слева в уравнении стоит константа зеркала, равная = F – эта величина называется фокусом зеркала. Если точку S отнести на бесконечность (т.е. а → ∞), что соответствует падению параллельного пучка света на зеркало, то после отражения в зеркале все эти лучи пройдут через точку F – фокус зеркала. Расстояние от точки фокуса до вершины зеркала называется фокусным расстоянием сферического зеркала и обозначается так же буквой F. Последнее уравнение, записанное в виде:

(3.4)

называется уравнением сферического зеркала. Это не единственная формула для сферических зеркал.