Построение изображений в сферических зеркалах

Считаем, что в построениях используем только параксиальные лучи. Очевидно, что любая прямая проходящая через сферический центр зеркала является оптической осью, но в отличие от главной все остальные называют побочными оптическими осями зеркала. Пусть пучок лучей падает на сферическое вогнутое зеркал параллельно побочной оптической оси. Т.к. все оптические оси сферического зеркала равноценны, лучи после отражения сойдутся в точке, удаленной от зеркала на такое же расстояние, что и главный фокус. Совокупность всех подобных точек образует определенную поверхность. Рассматривая лишь малые углы между главной и побочной осями, приближенно можно считать эту поверхность плоскостью, перпендикулярной главной оптической оси. Она называется фокальной плоскостью зеркала (рис3.11). Т.к. ход световых лучей обратим, то, поместив точечный источник света в главном фокусе зеркала или в какой-нибудь точке на фокальной плоскости (вблизи главной оптической оси), получим после отражения параллельный пучок света.

Рис. 3.11.

Для зеркал изображение действительное, если оно лежит по одну сторону с источником, и мнимое, если расположено за зеркалом.

Определим лучи необходимые для построения изображений в сферических зеркалах. О – центр сферической поверхности. Главная оптическая ось проходит через вершины сферической поверхности. Любая прямая, проходящая через оптический центр О является оптической осью. Все оси кроме главной называются побочными осями. Ниже все формулируется для главной оптической оси, но понятно, что эти построения справедливы и относительно побочных осей

А). Рассмотрим вогнутое сферическое зеркало (Рис. 3.12) Укажем лучи, которые можно использовать при построении изображений в вогнутом зеркале.

Рис.3.12

Луч «1» падает в вершину сферического зеркала (S) под некоторым углом к главной оптической оси и отражается под таким же углом.

Луч «2» падает на сферическое зеркало параллельно главной оптической оси и после отражения проходит через проходит через фокус зеркала (F).

Луч «3» проходит через оптический центр зеркала и, следовательно, падает на поверхность зеркала по нормали, а после отражения распространяется в противоположном направлении.

Луч «4» проходит через фокус зеркала и после отражения распространяется параллельно главной оптической оси. (луч «4» обратим с лучом «2»).

Для построения изображения в зеркале любой точки достаточно использовать два любых из приведенных четырех лучей. Более того, если известна точка А и ее изображение А', то любой луч, исходящий из точки А после отражения в зеркале пройдет через точку А'. В параксиальном приближении можно полагать, что изображение любой прямой будет – прямая. Для построения прямолинейного предмета достаточно построить крайние точки этого предмета, а затем соединить их прямой. Введем коэффициент увеличения Г, равный отношению размеров изображения предмета к размерам самого предмета. (Если Г > 1, то изображение увеличенное; если Г < 1, то изображение уменьшенное)

1. Рассмотрим случай, когда предмет АВ находится от вершины сферической поверхности зеркала S на расстоянии а > 2F = R (Рис. 3.13). Используя лучи «2», «4» найдем изображение А'В'. Положение изображения относительно зеркала оказалось на расстоянии b, причем F < b < 2F.

Рис. 3.13

Так как изображение получено пересечением самих лучей, то изображение действительное, обратное, уменьшенное.

2. Случай, когда предмет находится между F < а < 2F, то в силу обратимости оптических лучей можно утверждать, что, если А'В' – предмет, то АВ его изображение; причем b > 2F.

Очевидно, полученное изображение действительное, обратное, увеличенное.

3. Случай, когда предмет находится между фокусом F и вершиной зеркала S, т.е. 0 < а < F (Рис. 3.14).

Используя лучи «2», «3» найдем изображение А'В'. Положение изображения относительно зеркала оказалось образованным не самими лучами, а их продолжениями и поэтому оказалось с другой стороны зеркала на расстоянии b от вершины S. Поэтому в формуле линзы (3.4) значения b

необходимо брать отрицательным.

Полученное изображение – мнимое, прямое, увеличенное.

Б). Рассмотрим вогнутое сферическое зеркало

Необходимо при тех же обозначениях построить схему отражения луча от поверхности выпуклого зеркала аналогично рисунку 3.10. Получим

, где F = R/2 (3.5)

Из этой формулы так же видно, что если предмет удалить на бесконечность (что соответствует падению параллельного пучка на сферическое зеркало), то продолжение всех параллельных лучей после отражения в выпуклом зеркале будут проходить через точку F, называемую главным фокусом выпуклой линзы (см. рис. 3.15). Случаи вогнутого и выпуклого зеркала отличаются лишь знаком R. Легко видеть, что фокус вогнутого зеркала – действительный, а фокус выпуклого зеркала – мнимый.

Поскольку в рассматриваемом случае в фокусе пересекаются не сами отраженные лучи, а их продолжения, то это означает, что главный фокус выпуклого зеркала является мнимым. Здесь так же используются понятие фокальной плоскости, которая в данном случае является мнимой.

Укажем лучи, которые можно использовать при построении изображений в вогнутом зеркале (рис. 3.16).

Луч «1» падает в вершину сферического зеркала (S) под некоторым углом к главной оптической оси и отражается под таким же углом.

Рис. 3.16.

Луч «2» падает на сферическое зеркало параллельно главной оптической оси и отражается так, что его продолжение проходит через фокус зеркала (F).

Луч «3» падает на сферическое зеркало так, что его продолжение проходит через фокус зеркала (F) и после отражения распространяется параллельно главной оптической оси. (луч «3» обратим с лучом «2»).

Луч «4» падает на сферическое зеркало так, что его продолжение проходит через оптический центр зеркала и, следовательно, падает на поверхность зеркала по нормали, а после отражения распространяется в противоположном направлении.

Для построения изображения в зеркале любой точки достаточно использовать два любых из приведенных четырех лучей. Более того, если известна точка В и ее изображение В', то любой луч, исходящий из точки В после отражения в зеркале пройдет через точку В'. В параксиальном приближении можно полагать, что изображение любой прямой будет прямая.

В выпуклом зеркале только один вариант построения изображения

Поместив предмет АВ перед выпуклым зеркалом и используя лучи «2», «4» найдем изображение А'В'. Положение изображения относительно зеркала оказалось образованным не самими лучами, а их продолжениями и поэтому оказалось с другой стороны зеркала на расстоянии b от вершины S.

Полученное изображение – мнимое, прямое, уменьшенное. (Рис. 3.17).

S

О

Рис. 3.17.

Вывод: все четыре построения различны и однозначно определяют тип зеркала и положение предмета относительно зеркала