Уравнение эйканала

Глава 3. Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К А Я О П Т И К А

Световые лучи. Прямолинейное распространение света.

Уравнение эйканала

Раздел оптики, в котором распространение световой энергии рассматривается на основе представления о световых лучах как направлениях движения энергии, называется геометрической оптикой. Геометрическая оптика оперирует понятием отдельных световых лучей, подчиняющихся известным законам преломления и отражения и независимых друг от друга. Понятие светового луча можно получить из рассмотрения реального светового пучка в однородной среде, из которого при помощи одной или последовательности диафрагм с отверстиями выделяется узкий параллельный пучок. Чем меньше диаметр этих отверстий, тем уже выделяемый пучок, и в пределе, переходя к отверстиям сколь угодно малым, можно казалось бы получить световой луч как прямую линию. Известно, однако, что подобный процесс выделения сколь угодно узкого пучка (луча) невозможен вследствие явления дифракции. Неизбежное угловое расширение реального светового пучка, пропущенного через диафрагму диаметра D, определяется углом дифракции (направление на 1-й дифракционный минимум), где λ – длина волны, D – диаметр диафрагмы. Только в предельном случае, когда , подобное расширение не имело бы места, и можно было бы говорить о луче как о геометрической линии, направление которой определяет направление распространения световой энергии. Таким образом, световой луч есть абстрактное математическое понятие, а не физический образ, и геометрическая оптика есть лишь предельный случай реальной волновой оптики, соответствующий исчезающей малой длине световой волны. Соотношение показывает, что угловое отклонение, нарушающее прямолинейность распространения света в однородной среде, может быть весьма мало, если размеры отверстия или экрана велики по сравнению с длиной волны λ. Поэтому в реальной оптике, где λ — конечная величина, отступления от законов геометрической оптики должны быть тем меньше, чем больше размеры D.

Такое название «геометрическая оптика» дано потому, что все явления распространения света здесь могут быть исследованы путем геометрических построений хода лучей с учетом лишь законов отражения и преломления света. Эти два закона являются основой геометрической оптики.

И только там, где речь идет о явлениях, разыгрывающихся в точках изображения источника, законы геометрической оптики оказываются недостаточными и необходимо пользоваться законами волновой оптики. Геометрическая оптика дает возможность разобрать основные явления, связанные с прохождением света через линзы и другие оптические системы, а также с отражением от зеркал. В очень многих областях, имеющих важное практическое значение, в частности, в вопросе о формировании светового пучка (светотехника) и в вопросах об образовании изображения (оптотехника), решение можно получить гораздо более простым путем, с помощью представлений геометрической оптики.

Закон прямолинейного распространения света утверждает, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно.1) Образование резкой тени является доказательством прямолинейности распространения света.

экран

тень

Рис. 3.1

Если источник света не является точечным, а является протяженным, то излучает каждая точка световой поверхности и при этом образуются тень и полутень (рис.3.2).

Полутень

Тень

Полутень

Рис. 3.2.

Размеры объектов очень важны и в вопросе образования резких теней, существование которых является одним из основных аргументов в пользу лучевых представлений оптики. При относительно небольших расстояниях от объекта до точки наблюдения (дифракция Френеля) ширина области вблизи геометрической тени, где наблюдаются дифракционные полосы, примерно равна радиусу первой зоны Френеля; в случае плоской волны (бесконечно удаленный источник) радиус этой зоны (f - расстояние от объекта, вызвавшего дифракцию света, до точки наблюдения). За меру резкости тени естественно принять отношение линейного размера объекта x к радиусу зоны, т. е. Лишь при область полутени будет относительно очень широкой, и подобие объекта и тени нарушится. Из этого соотношения следует, что отсутствие тени будет лишь при расстояниях f > Уже при х = 1 см, λ = 500 нм имеем f = 200 м.

В геометрической оптике с помощью оптических лучей для каждой точки пространства предметов и среды, в которой распространяется световой луч находится соответствующая точка, принадлежащая пространству изображений. Функция, определяющая длину оптического пути между двумя произвольно выбранными точками, одна из которых А принадлежит пространству предметов, другая В – пространству изображений называется эйканалом. Оптическая длина пути (L) в общем случае для неоднородной среды определяется формулой L = , где n показатель преломления среды на участке оптического пути dl. Уравнение для малой области пространства, т.е. в дифференциальной форме это будет

или

Это уравнение и называется уравнением эйканала.