Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
В этом параграфе мы еще раз (см. раздел 2.2) обсудим понятие независимости случайных величин.
Определение 2.28. Случайные величины X и Y называются независимыми, если независимыми являются события и для любых действительных .
Теорема. Случайные величины X и Y независимы функция распределения системы равна произведению функций распределения составляющих:
для любых . (2.59)
Следствие 1. Непрерывные случайные величины X и Y независимы
. (2.60)
Следствие 2. Дискретные случайные величины X и Y независимы
для всех i, j. (2.61)
Пример 2.26. Являются ли зависимыми случайные величины X и Y, рассмотренные в примерах 2.23 и 2.25?
Решение. а) По заданной в примере 2.23 таблице распределения мы видим, что . С другой стороны, (см. построенные в примере 2.23 законы распределения X и Y), и . Следовательно, , и условие (2.61) нарушается. Поэтому случайные величины X и Y зависимы.
б) В примере 2.25 (пункт (д)) мы нашли плотности распределения величин X и Y: , . С другой стороны, по условию задачи 2.25: (так как , см. пункт (а) в примере 2.25). Следовательно, , т.е. выполнено условие (2.60). Поэтому случайные величины X и Y независимы.
Пример 2.27. В урне находятся 6 шаров: 1 белый, 2 черных и 3 синих. Из урны наугад извлекают 2 шара. Пусть случайная величина X – число белых шаров, Y – число черных шаров среди извлеченных. Составить: а) закон распределения для системы ; б) законы распределения случайных величин X и Y. Являются ли зависимыми случайные величины X и Y?
Решение. а) Возможные значения случайной величины X: , ; возможные значения величины Y: , , . Вычислим соответствующие вероятности системы :
,
,
,
,
.
Событие – невозможное, поскольку извлекаются только 2 шара. Поэтому . Таблица распределения системы имеет вид
1/5 | 2/5 | 1/15 | |
1/5 | 2/15 |
Проверка:
.
б) Вычислим вероятности возможных значений величины X, складывая вероятности по строкам таблицы:
, .
Вычислим вероятности возможных значений величины Y, складывая вероятности по столбцам таблицы:
, , .
Поэтому законы распределения величин X и Y имеют вид
X | ||
P | 2/3 | 1/3 |
Проверка: .
Y | |||
P | 2/5 | 8/15 | 1/15 |
Проверка: .
Заметим, что , так как . Поэтому случайные величины X и Y зависимы.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 266 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!