Зависимость случайных величин

В этом параграфе мы еще раз (см. раздел 2.2) обсудим понятие независимости случайных величин.

Определение 2.28. Случайные величины X и Y называются независимыми, если независимыми являются события и для любых действительных .

Теорема. Случайные величины X и Y независимы функция распределения системы равна произведению функций распределения составляющих:

для любых . (2.59)

Следствие 1. Непрерывные случайные величины X и Y независимы

. (2.60)

Следствие 2. Дискретные случайные величины X и Y независимы

для всех i, j. (2.61)

Пример 2.26. Являются ли зависимыми случайные величины X и Y, рассмотренные в примерах 2.23 и 2.25?

Решение. а) По заданной в примере 2.23 таблице распределения мы видим, что . С другой стороны, (см. построенные в примере 2.23 законы распределения X и Y), и . Следовательно, , и условие (2.61) нарушается. Поэтому случайные величины X и Y зависимы.

б) В примере 2.25 (пункт (д)) мы нашли плотности распределения величин X и Y: , . С другой стороны, по условию задачи 2.25: (так как , см. пункт (а) в примере 2.25). Следовательно, , т.е. выполнено условие (2.60). Поэтому случайные величины X и Y независимы.

Пример 2.27. В урне находятся 6 шаров: 1 белый, 2 черных и 3 синих. Из урны наугад извлекают 2 шара. Пусть случайная величина X – число белых шаров, Y – число черных шаров среди извлеченных. Составить: а) закон распределения для системы ; б) законы распределения случайных величин X и Y. Являются ли зависимыми случайные величины X и Y?

Решение. а) Возможные значения случайной величины X: , ; возможные значения величины Y: , , . Вычислим соответствующие вероятности системы :

,

,

,

,

.

Событие – невозможное, поскольку извлекаются только 2 шара. Поэтому . Таблица распределения системы имеет вид

	1/5	2/5	1/15
	1/5	2/15

Проверка:

.

б) Вычислим вероятности возможных значений величины X, складывая вероятности по строкам таблицы:

, .

Вычислим вероятности возможных значений величины Y, складывая вероятности по столбцам таблицы:

, , .

Поэтому законы распределения величин X и Y имеют вид

X
P	2/3	1/3

Проверка: .

Y
P	2/5	8/15	1/15

Проверка: .

Заметим, что , так как . Поэтому случайные величины X и Y зависимы.