Основные свойства плотности распределения двумерной случайной величины

1. для любых ;

2. Вероятность попадания случайной величины в произвольную область равна

. (2.54)

3. Функция распределения двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность по формуле

. (2.55)

4. Условие нормировки:

. (2.56)

5. Функции распределения одномерных составляющих X и Y вычисляются по формулам

, . (2.57)

6. Плотности распределения одномерных составляющих X и Y вычисляются по формулам

(2.58)

Пример 2.25. Система случайных величин имеет плотность распределения вероятностей . Найти: а) значение А; б) функцию распределения ; в) вероятность попадания случайной величины в область ; г) функции распределения и ; д) плотности распределения и .

Решение. а) Для нахождения постоянной А используем условие (2.56):

.

С другой стороны,

Отсюда .

б) Используя формулу (2.55), получаем

в) Применяя формулу (2.54), получаем

г) Используя формулу (2.57), получаем

Аналогично,

д) Применим формулу (2.58):

.

Аналогично, .