Задания для самостоятельной работы. 1. Задано распределение вероятностей для числа очков X и Y, выбиваемых каждым из двух стрелков: X P 0,1 0,3 0,6

Вариант 1

1. Задано распределение вероятностей для числа очков X и Y, выбиваемых каждым из двух стрелков:

X
P	0,1	0,3	0,6

Y
P	0,2	0,3	0,5

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей для суммы и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Случайная величина X принимает три значения 1, 2 и 3. Найти вероятности этих значений, если и .

3. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины X – число поражений цели при четырех выстрелах и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

4. Из урны, содержащей 3 белых и 2 чёрных шара, переложили 2, взя­тых наугад, шара в урну, содержащую 4 белых и 4 чёрных шара. Найти ряд распределения случайной величины – количества белых шаров во второй урне. Найти функцию распределения и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана плот­ность распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и медиану; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , при этом , . Требуется: а) найти пределы распределения a и b; б) составить дифференциальную и интегральную функции этого распределения и построить их графики; в) найти вероятность события .

7. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины , соответственно, равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из промежутка .

8. Двумерная случайная величина задана плотностью распределения . Найти а) величину параметра ; б) функцию распределения ; в) плотность распределения каждой компоненты; г) . Являются ли величины X и Y зависимыми?

Вариант 2

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

X
P	0,2	0,8

Y	0,5
P	0,3	0,5	0,2

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию двумя способами.

2. Случайная величина принимает два значения и с вероятностями 0,4 и 0,6. Найти эти значения, если , , причём .

3. Устройство состоит из 3-х блоков, работающих независимо друг от друга. Для каждого блока вероятность того, что за время T он выйдет из строя, равна 0,9. Составить закон распределения числа вышедших из строя блоков за время T и вычислить его математическое ожидание и дисперсию.

4. В урне находятся 15 шаров, среди них 7 синих и 8 желтых. Наудачу отобраны 4 шара. Случайная величина X – количество синих шаров среди 4-х отобранных. Найти закон распределения этой случайной величины и вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана интегральная функция распределения .

Требуется: а) найти значение a; б) найти плотность распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и медиану; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Случайная величина X распределена на отрезке с постоянной плотностью. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины X и .

7. Ошибка радиодальномера подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5 м, а среднее квадратическое отклонение равно 10 м. Найти вероятность того, что измеренное значение дальности будет отличаться от истинного не более чем на 20м.

8. Задано распределение вероятностей двумерной случайной величины :

	– 1
	0,15	0,3	0,3
	0,1	0,05	0,1

Найти: а) законы распределения X и Y; б) функцию распределения ; в) вероятность ; г) ковариацию и коэффициент корреляции величин X и Y. Зависимы ли случайные величины X и Y?

Вариант 3

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

Y
P	0,1	0,2	0,7

X
P	0,2	0,8

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Дискретная случайная величина X принимает два значения и , причём .Вероятность того, что случайная величина X примет значение , равна 0,2. Найти закон распределения случайной величины X, если , .

3. В цехе имеется 5 моторов. Вероятность включения каждого мотора в данный момент равна 0,3. Составить ряд распределения для числа включённых моторов в данный момент и вычислить его математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

4. Из урны, содержащей 4 белых и 3 чёрных шара, извлекаются наудачу 3 шара. Найти закон распределения случайной величины X – количества извлечённых белых шаров и вычислить ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

5. Задана плотность распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и медиану; д) вычислить вероятность того, что X принадлежит интервалу .

6. Обычно совещание длится час. На этот раз за час оно не закончилось. Какова вероятность того, что оно закончится в ближайшие 15 мин., если длительность совещания распределена по показательному закону.

7. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины X, соответственно, равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из промежутка .

8. Двумерная случайная величина задана плотностью распределения , которая равна при , , и в остальных точках. Найти а) величину параметра ; б) функцию распределения ; в) плотность распределения каждой компоненты. Являются ли величины X и Y зависимыми?

Вариант 4

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

X	– 1
P	0,6	0,4

Y
P	0,3	0,4	0,3

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. В ящике имеется 42 шара с цифрами 1, 3 и 5. Шаров с цифрой 5 в два раза больше, чем шаров с цифрой 3. Случайная величина X – число на вынутом наудачу шаре (шары возвращаются в ящик). Известно, что . Найти , а также число шаров с цифрами 1, 3 и 5.

3. Вероятность выпуска прибора, удовлетворяющего требованиям качества, равна 0,9. Случайная величина X – число приборов, удовлетворяющих требованиям качества, в партии их трех приборов. Найти ряд распределения величины X и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

4. Из урны, содержащей 3 белых и 5 чёрных шара, извлекаются наудачу 3 шара. Пусть X – количество черных шаров среди извлеченных. Найти закон распределения случайной величины и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана интегральная функция распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти плотность распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Время ремонта и обслуживания автомобиля после одной поездки случайно и имеет показательный закон распределения с математическим ожиданием 5 мин.Найти вероятность того, что при очередной поездке это время не превысит 10 мин.

7. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины , соответственно, равны 30 и 10. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из промежутка .

8. Задано распределение вероятностей двумерной случайной величины :

– 1		0,2
	0,1	0,2
	0,4	0,1

Найти: а) законы распределения X и Y; б) функцию распределения ; в) вероятность ; г) ковариацию и коэффициент корреляции величин X и Y. Зависимы ли случайные величины X и Y?

Вариант 5

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

X	– 1
P	0,5	0,4	0,1

Y	– 1
P	0,2	0,5	0,3

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. 20 студентов сдали экзамен. Полученные ими оценки 3 и 4 представ­ляют собою все возможные значения случайной величины X, математическое ожидание которой равно 3,4. Определить, сколько студентов получили каждую из указанных оценок.

3. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Найти закон распределения случайной величины – числа выпадений чётного числа очков на каждой кости, вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

4. В партии из шести деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Найти ряд распределения случайной величины X – количества стандартных деталей среди отобранных. Найти интегральную функцию и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана плотность распределения

. Требуется: а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и моду; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Длительность междугородних городских телефонных разговоров распределена по показательному закону. Разговоры продолжаются в среднем 3 мин. Найти вероятность того, что очередной разговор будет продолжаться более 3 мин.

7. Значение теста IQ распределено по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 100, и средним квадратическим отклонением, равным 16. Найти долю людей, у которых коэффициент интеллекта окажется в пределах от 80 до 120.

8. Двумерная случайная величина задана плотностью распределения , которая равна при , , и в остальных точках. Найти а) величину параметра ; б) функцию распределения ; в) плотности распределения каждой компоненты; г) вероятность . Являются ли величины X и Y зависимыми?

Вариант 6

1. Случайная величина X, математическое ожидание которой , распределена по закону:

X	– 6	– 1
P	0,1		0,2		0,2

Требуется: а) найти и ; б) построить полигон распределения для каждой величины, в) вычислить и построить график функции распределения; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; д) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Монету бросают до первого выпадения герба, но не более четырёх раз. Найти ряд распределения случайной величины X – количества бросаний монеты и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

3. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины – числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если надёжность элемента в каждом опыте составляет 0,9.

4. В урне находятся 9 шаров, среди них 5 синих и 4 желтых. Наудачу отобраны 4 шара. Случайная величина X – количество синих шаров среди 4-х отобранных. Найти закон распределения этой случайной величины и вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана плотность распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и моду; д) вычислить вероятность того, что X принадлежит интервалу .

6. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке , при этом , . Требуется: а) найти пределы распределения a и b; б) составить дифференциальную и интегральную функции этого распределения и построить их графики; в) найти вероятность события .

7. Текущая цена акции может быть приближена нормальным распределением с математическим ожиданием 16,22 руб. и средним квадратическим отклонением 0,1 руб. Вычислить вероятность того, что цена акции окажется не выше 16 руб.

8. Задано распределение вероятностей двумерной случайной величины :

	0,15	0,06	0,25	0,04
	0,3	0,1	0,03	0,07

Найти: а) законы распределения X и Y; б) функцию распределения ; в) вероятность ; г) ковариацию и коэффициент корреляции величин X и Y. Зависимы ли случайные величины X и Y?

Вариант 7

1. 3 стрелка производят по одному выстрелу в одну мишень. Вероят­ность попадания для первого стрелка – 0,4, для второго – 0,5, а для третьего – 0,6. Требуется: а) найти ряд распределения случайной величины X – общего количества попаданий в мишень; б) построить полигон распределения X; в) найти интегральную функцию и построить ее график; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию; д) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Случайная величина X может принимать два положительных значения и с вероятностями 0,8 и 0,2. Найти эти значения, если , .

3. Монету бросают 5 раз. Найти ряд распределения случайной величины X – количества выпадений герба. Найти интегральную функцию . Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

4. Баскетболист бросает мяч в кольцо. Вероятность попадания при одном броске равна 0,6. Составить закон распределения вероятностей числа бросков, если баскетболист прекращает броски, как только попадает в кольцо, и вычислить математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана плотность распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и моду; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Среднее время ожидания пассажиром автобуса равно 3,5. Известно, что время ожидания имеет равномерный закон распределения. Минимальное время ожидания равно 0 мин. Найти вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус от 2 до 5 мин.

7. Автомат заполняет банки кофе. Масса кофе в банке распределена нормально с математическим ожиданием 500 г и средним квадратическим отклонением 8 г. Какова вероятность того, что масса кофе в банке будет меньше 540 г?

8. Двумерная случайная величина задана плотностью распределения , которая равна при , , и в остальных точках. Найти а) величину параметра ; б) функцию распределения ; в) плотность распределения каждой компоненты; г) вероятность . Являются ли величины X и Y зависимыми?

Вариант 8

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

Y	– 2
P	0,3	0,2	0,5

X	– 3	–1
P	0,4	0,3	0,3

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Имеются 5 ключей, из которых только один подходит к замку. Ключи выбираются наудачу, причём испробованный ключ в последующих опробова­ниях не участвует. Найти ряд распределения случайной величины X, равной количеству проб, потребующихся для открывания замка, и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

3. В лаборатории 6 станков. Вероятность включения каждого станка в данный момент равна 0,4. Составить ряд распределения для числа включённых станков в данный момент и вычислить его математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

4. Для случайной величины X, имеющей распределение Пуассона, вероятность события равна 0,4. Составить закон распределения величины X и вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и вероятность события .

5. Задана интегральная функция распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти плотность распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и медиану; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию с интервалом движения 5 мин. Составить закон распределения величины X – времени ожидания пассажиром автобуса и найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

7. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от номинала по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная ошибка распределена нормально со средним квадратическим отклонением мм, найти среднее количество годных шариков среди 100 изготовленных.

8. В урне находятся 2 белых, 3 черных и 2 синих шара. Из урны наугад извлекают 2 шара. Пусть случайная величина X – число белых шаров, величина Y – число черных шаров среди извлеченных. Составить: а) закон распределения для системы ; б) законы распределения случайных величин X и Y; в) найти ковариацию и коэффициент корреляции величин X и Y. Являются ли величины X и Y зависимыми?

Вариант 9

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

Y
P	0,4	0,2	0,4

X	– 1
P	0,1	0,5	0,4

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Случайная величина X принимает три значения 1, 2 и 3. Найти вероятности этих значений, если и .

3. Вероятность появления некоторого события равна 0,4. Составить ряд распределения числа появлений этого события при 5 независимых испытаниях. Найти его математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

4. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взяты 2 детали. Найти ряд распределения случайной величины – количества стандартных деталей в выборке. Построить многоугольник распределения. Найти интегральную функцию и построить её график. Вычислить .

5. Задана плотность распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и моду; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Считая, что ошибки измерения распределены равномерно, найти вероятность того, что при измерении будет сделана ошибка меньше, чем 0,04.

7. Размер диаметра втулок, изготовляемых цехом, можно считать нормально распределённой случайной величиной с математическим ожиданием и дисперсией . В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки?

8. Двумерная случайная величина задана плотностью распределения , которая равна при , , и в остальных точках. Найти а) величину параметра ; б) функцию распределения ; в) плотность распределения каждой компоненты; г) вероятность . Являются ли величины X и Y зависимыми?

Вариант 10

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

X
P	0,3	0,4	0,3

Y	– 4
P	0,4

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. В лотерее на 100 билетов приходится 12 выигрышных. Количество и размер выигрышей следующие:

Размер выигрыша	25 р.	10 р.	5 р.
Количество

Составить ряд распределения случайной величины X – размера выигрыша, приходящегося на один билет. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

3. Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из четырех студентов равна 0,8. Пусть случайная величина X – число сдавших экзамен. Составить закон распределения величины X и вычислить ее математическое ожидание и дисперсию.

4. В урне находятся 12 шаров, среди них 5 красных и 7 черных. Наудачу отобраны 5 шаров. Случайная величина X – количество красных шаров среди пяти отобранных. Найти закон распределения этой случайной величины и вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана интегральная функция распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти плотность распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и медиану; д) вычислить вероятность того, что X принадлежит интервалу .

6. Ребро куба x измерено приближенно: . Рассматривая ребро куба как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале , найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

7. Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали распределена нормально со средним значением 50 мм. Практически длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется больше 55 мм.

8. Задано распределение вероятностей двумерной случайной величины :

	0,05	0,12	0,08	0,04
	0,09	0,3	0,11	0,21

Найти: а) законы распределения X и Y; б) функцию распределения ; в) вероятность ; г) ковариацию и коэффициент корреляции величин X и Y. Зависимы ли случайные величины X и Y?

Вариант 11

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

X
P	0,2	0,3	0,5

Y	– 1
P	0,2	0,6	0,2

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Стрелок может выбить 0, 3 или 7 очков. Количество выбитых очков при одном выстреле есть случайная величина с математическим ожиданием 3,6 и дисперсией 6,24. Найти вероятности, отвечающие возможным количествам выбитых очков.

3. Найти математическое ожидание случайной величины – числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится "6", если общее число бросаний равно двадцати.

4. При работе ЭВМ возникают сбои. Среднее число сбоев за сутки равно 2. Считая поток сбоев простейшим, найти вероятность того, что в течение суток произойдет хотя бы один сбой.

5. Задана плотность распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и медиану; д) вычислить вероятность того, что попадет в промежуток от до .

6. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке . При этом , . Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток от 1,5 до 2,5.

7. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным 25. Вероятность попадания случайной величины X на отрезок равна 0,2. чему равна вероятность попадания случайной величины X на отрезок ?

8. Двумерная случайная величина задана плотностью распределения , которая равна при , , и в остальных точках. Найти а) величину параметра ; б) функцию распределения ; в) плотность распределения каждой компоненты; г) вероятность . Являются ли величины X и Y зависимыми?

Вариант 12

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

X
P	0,7	0,2	0,1

Y	– 2
P	0,6	0,4

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Случайная величина X принимает два возможных значения и с вероятностями и . Составить ряд распределения, если известно, что , , и .

3. Из урны, содержащей 6 белых и 4 чёрных шара, 5 раз извлекают шар (с возвращением в урну). Найти ряд распределения случайной величины X – количества извлечённых белых шаров и вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

4. Случайная величина X подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием, равным 3. Найти вероятность того, что величина X примет значение меньше, чем ее математическое ожидание.

5. Задана интегральная функция распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти плотность распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание и дисперсию; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке , при этом , . Требуется: а) найти пределы распределения a и b; б) составить дифференциальную и интегральную функции этого распределения и построить их графики; в) найти вероятность события .

7. Длина изготовленной автоматом детали представляет собой случайную величину, нормально распределенную с параметрами , . Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть . Какую точность длины изготовленной детали можно гарантировать с вероятностью 0,97?

8. Задано распределение вероятностей двумерной случайной величины :

	– 1
	0,25	0,2	0,11
	0,2	0,1	0,15

Найти: а) законы распределения X и Y; б) функцию распределения ; в) вероятность ; г) ковариацию и коэффициент корреляции величин X и Y. Зависимы ли случайные величины X и Y?

Вариант 13

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

X
P	0,5	0,2	0,3

Y	– 1
P	0,3	0,4	0,3

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Случайная величина X принимает три значения: 2, 4 и 6. Найти вероятности этих значений, если , .

3. Вероятность приема каждого их четырех радиосигналов равна 0,6. Найти закон распределения случайной величины – числа принятых радиосигналов – и вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

4. В урне находятся 11 шаров, среди них 6 красных и 5 черных. Наудачу отобраны 4 шара. Случайная величина X – количество красных шаров среди отобранных. Найти закон распределения этой случайной величины и вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана плотность распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и моду; д) вычислить вероятность того, что принадлежит интервалу .

6. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке , при этом , . Требуется: а) найти пределы распределения a и b; б) составить дифференциальную и интегральную функции этого распределения и построить их графики; в) найти вероятность события .

7. Отклонение длины изготавливаемых деталей от номинала является случайной величиной X, распределенной по нормальному закону. Известно, что и . Какую точность длины изделия (т.е. величину отклонения от номинала) можно гарантировать с вероятностью 80%?

8. Двумерная случайная величина задана плотностью распределения , которая равна при , , и в остальных точках. Найти а) величину параметра ; б) функцию распределения ; в) плотность распределения каждой компоненты; г) вероятность . Являются ли величины X и Y зависимыми?

Вариант 14

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

X
P	0,7	0,3

Y	– 2	–1
P	0,2	0,4	0,4

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Случайная величина X принимает три значения: 1, 2 и 3. Найти вероятности этих значений, если , .

3. В некотором цехе брак составляет 6% всех изделий. Найти закон распределения случайной величины X – числа бракованных изделий из пяти наугад взятых изделий и вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

4. В урне находятся 10 шаров, среди них 4 белых и 6 желтых. Наудачу отобраны 5 шаров. Случайная величина X – количество желтых шаров среди отобранных. Найти закон распределения этой случайной величины и вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

5. Задана интегральная функция распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти плотность распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и медиану; д) вычислить вероятность того, что X принадлежит интервалу .

6. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке . При этом , . Требуется: а) найти предел распределения b; б) составить дифференциальную и интегральную функции этого распределения и построить их графики; в) найти и вероятность события .

7. При определении расстояния локатором случайные ошибки распределены но нормальному закону. Какова вероятность того, что ошибка при определении расстояния не превысит 20 м, если известно, что локатор систематических ошибок не допускает, и дисперсия ошибок равна 1370 м²?

8. Задано распределение вероятностей двумерной случайной величины :

	– 2
	0,1	0,15	0,2
	0,15	0,25	0,15

Найти: а) законы распределения X и Y; б) функцию распределения ; в) вероятность ; г) ковариацию и коэффициент корреляции величин X и Y. Зависимы ли случайные величины X и Y?

Вариант 15

1. Задано распределение вероятностей двух случайных величин X и Y:

X
P	0,2	0,2	0,6

Y	– 2
P	0,3	0,1	0,6

Требуется: а) построить полигон распределения для каждой величины; б) вычислить и построить график функции распределения; в) вычислить математическое ожидание и дисперсию для каждой величины; г) найти распределение вероятностей случайной величины и вычислить ее математическое ожидание двумя способами.

2. Случайная величина X принимает три значения: 0, 3 и 5. Найти вероятности этих значений, если , .

3. Вероятность появления некоторого события равна 0,3. Составить ряд распределения числа появлений этого события при шести независимых испытаниях. Найти его математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.