Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Числовые характеристики непрерывной случайной величины аналогичны числовым характеристикам дискретной случайной величины (см. раздел 2.7).

1) Математическое ожидание для непрерывнойслучайной величиныравно

(2.34)

(интеграл должен быть абсолютно сходящимся).

2) Дисперсия для непрерывнойслучайной величиныопределяется по формуле

. (2.35)

(интеграл должен быть сходящимся, в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии).

Иногда для вычисления дисперсии удобно использовать следующую формулу

. (2.36)

3) Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно

. (2.37)

4) Начальный момент порядка k равен

.

5) Центральный момент порядка k равен

.

6) Модой непрерывной случайной величины X называется такое ее значение , для которого .

7) Медианой случайной величины X называется такое ее значение , для которого выполняется условие или .

Пример 2.17. Задана функция распределения . Требуется: а) найти значение a; б) найти плотность распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию и медиану; д) вычислить вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. а) Так как функция непрерывна на всей оси, то, в частности, непрерывна при , т.е. . Следовательно, . Поэтому .

б) В силу формулы (2.30),

.

в) Построим графики и :

г) Вычислим математическое ожидание, используя формулу (2.34):

.

Вычислим дисперсию, используя формулу (2.36):

Вычислим медиану , используя равенство . Подставляя в выражение для , получаем . Следовательно, медиана равна .

д) Вычислим вероятность

Пример 2.18. Задана плотность распределения

.

Требуется а) найти значение a; б) найти функцию распределения ; в) построить графики и ; г) вычислить математическое ожидание, дисперсию, медиану и моду; д) вычислить вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .

Решение. а) Так как при и при , то равенство (2.33) принимает более простой вид: . Так как при , получаем

.

Отсюда .

б) Используя формулу (2.31), найдем функцию распределения .

При имеем ,

так как при .

Если , то

Если , то

.

Таким образом,

. (2.38)

в) Построим графики и :

F (x)

г) Вычислим математическое ожидание, используя формулу (2.34):

.

Для вычисления последнего интеграла применим формулу интегрирования по частям: . Обозначим . Следовательно,

Вычислим дисперсию, используя формулу (2.36):

(2.39)

Для вычисления интеграла в равенстве (2.39) применим формулу интегрирования по частям. Обозначим , . Тогда , . Следовательно,

(2.40)

Еще раз применим формулу интегрирования по частям к последнему интегралу:

Подставим последний интеграл в равенство (2.40):

.

Поэтому (см. равенство (2.39))

Найдем медиану , используя равенство . Следовательно, (см. формулу (2.38))

.

Поэтому, медиана равна .

Найдем моду , исходя из определения моды: . Но на интервале функция не имеет максимума, поэтому случайная величина X не имеет моды.

д) Вычислим вероятность , используя формулы (2.29) и (2.38):