Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

Поскольку комплексное число мы определили как упорядоченную пару действительных чисел, то вполне естественно изобразить комплексное число точкой плоскости с декартовыми координатами либо вектором, идущим из начала координат в эту точку (рис. 1).

Рис. 1.

На оси Ох расположены все действительные числа, а на оси Оу – чисто мнимые, т.е. комплексные числа вида .

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью (её также обозначают C). Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.

Длина вектора , изображающего комплексное число , есть модуль комплексного числа:

,

а угол , который образует этот вектор с осью Ох, называется аргументом комплексного числа .

Очевидно, что угол определён с точностью до .

Условимся называть главным значением аргумента – значение угла в интервале . Символически главное значение аргумента комплексного числа обозначают:

Тогда всю совокупность значений аргумента обозначают символом:

Очевидны формулы:

при

при

Из рис. 1 легко получить соотношения: , тогда

.

Определение. Представление комплексного числа в виде называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для сокращения записи комплексных чисел в тригонометрической форме удобно использовать формулу Эйлера:

.

Тогда комплексное число можно записать в виде:

.

Определение. Представление комплексного числа в виде называется показательной формой записи комплексного числа.

Таким образом, комплексное число может быть записано в трёх равноправных формах:

– алгебраическая форма записи комплексного числа;

– тригонометрическая форма записи комплексного числа;

– показательная форма записи комплексного числа,

где ,

Пример 3. Записать комплексные числа в трёх формах записи:

а) ; б) ; б) и изобразить их векторами на плоскости.

Решение. а) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа .

Здесь ,

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .

б) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа Здесь Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .

в) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа Здесь

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .

Рис. 2.

Изображения комплексных чисел представлены на рис. 2.

4.3. Формула Муавра и извлечение корня п -ой степени из комплексного числа

Вычислив произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно убедиться, что модуль и аргумент комплексного числа обладают следующими свойствами:

. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел: .

. Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел: .

Используя эти свойства, легко можно получить формулу возведения комплексного числа в целую положительную степень, а именно:

если , то

– формула Муавра,

или в показательной форме записи:

.

Определение. Корнем п -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число , которое, будучи возведено в степень п даст число .

Из определения и формулы Муавра ясно, что модуль искомого корня будет , а аргумент

Таким образом,

(1)

Придавать значения, большие , не имеет смысла, так как будем получать уже имеющиеся значения аргумента (с точностью до ).

Следовательно, корень п -ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, модули которых одинаковы (), т.е. все значения корня лежат на окружности с центром в начале координат радиуса , а аргументы последовательных значений отличаются на угол .

Пример 4. Используя формулу Муавра, вычислить:

а) ; б)

Решение. а) Представим число в тригонометрической форме. Имеем:

. Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа .

Применяя формулу Муавра, получим:

б) Представим число в тригонометрической форме. Имеем: . Поэтому

– тригонометрическая форма записи комплексного числа .

Применяя формулу Муавра, получим:

Пример 5. Найти все значения корня: .

Решение. Представим комплексное число в тригонометрической форме. Здесь Поэтому

.

По формуле (1) находим:

где

Полагая , получим:

Найденным корням соответствуют вершины правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (рис. 3).

Рис. 3.