Основы теории функций комплексного переменного

4.1. Комплексные числа: определение, алгебра комплексных чисел, алгебраическая форма записи

Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел:

Например,

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если и .

Определение. Суммой комплексных чисел и называется число , определяемое равенством:

Определение. Произведением комплексных чисел и называется число , определяемое равенством:

Легко проверить, что операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

1. Коммутативности:

2. Ассоциативности:

3. Дистрибутивности сложения относительно умножения:

4. Операции сложения и умножения над комплексными числами вида :

совпадают с соответствующими операциями над действительными числами и . Поэтому комплексные числа вида отождествляют с действительными числами: т.е. совокупность всех действительных чисел является частью совокупности комплексных чисел.

Среди комплексных чисел особую роль играет число , так как т.е. квадрат этого числа равен −1. Поэтому это число имеет особое обозначение: и его называют мнимой единицей:

Теперь всякое комплексное число мы можем записать в виде:

Итак, – алгебраическая форма записи комплексного числа

В этом случае называют действительной частью комплексного числа и символически обозначают:

называют мнимой частью комплексного числа и символически обозначают:

.

Определение. Число называют модулем комплексного числа и символически обозначают , т.е.

.

Определение. Комплексное число называется сопряжённым с комплексным числом и обозначается символом , т.е.

и – пара комплексно-сопряжённых чисел.

Легко убедиться, что . Действительно,

Используя введённые выше операции сложения и умножения комплексных чисел, можно определить операции вычитания и деления комплексных чисел.

Определение. Разностью комплексных чисел и называется такое число , что Очевидно, что вычитание всегда выполнимо и, притом, единственным образом:

Определение. Частным двух комплексных чисел и называется такое число , что .

Для выполнения операции деления достаточно домножить числитель и знаменатель на , т.е. на число сопряжённое знаменателю, тогда

т.е. деление на комплексное число (не равное нулю) выполнимо и единственно.

Замечание. Введённые правила выполнения арифметических действий над комплексными числами таковы, что если комплексные числа записаны в алгебраической форме, то все действия можно выполнять точно также, как и с действительными числами, помня только, что , и для выполнения деления необходимо числитель и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.

Пример 1. Найти если , .

Решение. Чтобы выполнить указанные действия, з апишем заданные комплексные числа и в алгебраической форме:

Тогда имеем:

Пример 2. Найти если

Решение. -это действительная частькомплексного числа . Имеем:

– это мнимая часть комплексного числа . Имеем: