![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Мы рассматривали степенные ряды вида
или
Каждый из таких рядов в своей области сходимости сходится к некоторой функции, сумме степенного ряда. Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию
представлять в виде суммы степенного ряда.
Как известно, для любой функции , определённой в окрестности точки
и имеющей в ней производные до
-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:
, (10)
где – остаточный член в форме Лагранжа. Число
можно записать в виде
, где
.
Формулу (10) кратко можно записать в виде
,
где – многочлен Тейлора.
Если функция имеет производные любых порядков (т.е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки
, то в формуле Тейлора мы можем использовать сколь угодно много членов. Тогда формула (10) примет вид:
. (11)
Определение. Ряд в разложении (11), называется рядом Тейлора для функции , а коэффициенты этого степенного ряда
называются коэффициентами Тейлора.
Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням
в так называемый ряд Маклорена:
Замечание. В ряд Тейлора можно разложить любую бесконечно дифференцируемую в окрестности точки функции
. Это является необходимым условием разложения функции
в ряд Тейлора. Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции
; он может оказаться расходящимся или сходящимся, но не к функции
.
Теорема. Для того чтобы при некотором значении имело место разложение (11), необходимо и достаточно, чтобы при этом значении
остаточный член формулы Тейлора (10) стремился к нулю при неограниченном возрастании
, т.е. чтобы
.
Способы разложения функции в ряд Тейлора
1. Непосредственное разложение
Для разложения функции в ряд Тейлора нужно:
а) найти все производные до порядка включительно:
;
б) вычислить значения производных в точке ;
в) составить ряд ;
г) найти радиус сходимости степенного ряда и интервал сходимости
;
д) доказать, что остаточный член ряда при
,
;
е) Таким образом, при
.
2. Косвенное разложение
В этом случае используют уже известные разложения и, применяя метод подстановки, получают разложения для других рядов.
Приведём разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена:
1. ,
;
2. ,
;
3. ,
;
4. ,
;
5. ,
;
6.
,
;
В частности,
а) ;
б) ;
7. ,
;
8.
,
;
9. ,
.
Пример 12. Разложить в ряд Маклорена функцию , пользуясь косвенным методом.
Решение. Заменяя на
в разложении 6, получим:
,
.
Пример 13. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки
(по степеням
).
Решение. Разложим функцию на сумму простейших дробей:
.
Найдём :
Таким образом,
.
Разложим дроби и
в ряд Тейлора по степеням
, используя разложения 6а) и 6б):
Следовательно, разложение функции
в ряд Тейлора по степеням
имеет вид:
где
– интервал сходимости.
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 543 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!