Ряды Тейлора

Мы рассматривали степенные ряды вида

или

Каждый из таких рядов в своей области сходимости сходится к некоторой функции, сумме степенного ряда. Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функцию представлять в виде суммы степенного ряда.

Как известно, для любой функции , определённой в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

, (10)

где – остаточный член в форме Лагранжа. Число можно записать в виде , где .

Формулу (10) кратко можно записать в виде

,

где – многочлен Тейлора.

Если функция имеет производные любых порядков (т.е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки , то в формуле Тейлора мы можем использовать сколь угодно много членов. Тогда формула (10) примет вид:

. (11)

Определение. Ряд в разложении (11), называется рядом Тейлора для функции , а коэффициенты этого степенного ряда

называются коэффициентами Тейлора.

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в так называемый ряд Маклорена:

Замечание. В ряд Тейлора можно разложить любую бесконечно дифференцируемую в окрестности точки функции . Это является необходимым условием разложения функции в ряд Тейлора. Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходящимся, но не к функции .

Теорема. Для того чтобы при некотором значении имело место разложение (11), необходимо и достаточно, чтобы при этом значении остаточный член формулы Тейлора (10) стремился к нулю при неограниченном возрастании , т.е. чтобы

.

Способы разложения функции в ряд Тейлора

1. Непосредственное разложение

Для разложения функции в ряд Тейлора нужно:

а) найти все производные до порядка включительно:

;

б) вычислить значения производных в точке ;

в) составить ряд ;

г) найти радиус сходимости степенного ряда и интервал сходимости ;

д) доказать, что остаточный член ряда при , ;

е) Таким образом, при .

2. Косвенное разложение

В этом случае используют уже известные разложения и, применяя метод подстановки, получают разложения для других рядов.

Приведём разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена:

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6.

, ;

В частности,

а) ;

б) ;

7. , ;

8.

, ;

9. , .

Пример 12. Разложить в ряд Маклорена функцию , пользуясь косвенным методом.

Решение. Заменяя на в разложении 6, получим:

, .

Пример 13. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки (по степеням ).

Решение. Разложим функцию на сумму простейших дробей:

.

Найдём :

Таким образом,

.

Разложим дроби и в ряд Тейлора по степеням , используя разложения 6а) и 6б):

Следовательно, разложение функции в ряд Тейлора по степеням имеет вид:

где

– интервал сходимости.