Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

Первый признак сравнения

Пусть и - ряды с положительными членами, причём при любых , начиная с некоторого , т.е. для всех . Тогда:

1) если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2) Если ряд расходится, то расходится и ряд .

Второй признак сравнения

Пусть и - ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел

,

Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. При использовании 1-го и 2-го признаков сравнения, как правило, сравнивают исходный ряд с рядами, о которых заранее известно, сходятся они или расходятся:

1) ряд Дирихле – сходится при и расходится при . При получаем ряд , называемый гармоническим.

2) ряд вида

,

члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Ряд сходится, если и расходится при .

Замечание 2. При отыскании ряда для сравнения по второму признаку, можно в общем члене исследуемого ряда заменять бесконечно малую функцию на эквивалентную ей функцию, используя основные эквивалентности бесконечно малых функций при :

Если в результате замены мы получим ряд, рассмотренный в замечании 1, то его можно взять в качестве ряда , с которым нужно сравнить исследуемый ряд.

Замечание 3. Вопрос о сходимости рядов вида:

,

где и – многочлены степени m и k, решается путем сравнения с рядом Дирихле , где . При этом целесообразно применять второй признак сравнения.

Признак Даламбера

Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел

.

Тогда при , данный ряд сходится; при – расходится.

Радикальный признак Коши

Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел

.

Тогда при , данный ряд сходится; при – расходится.

Замечание 4. Если в признаках Даламбера и Коши предел не существует или равен 1, то ряд может, как сходится, так и расходится. В этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.

Интегральный признак Коши

Пусть – ряд с положительными членами и положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке функция такая, что

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда , используя первый признак сравнения.

Решение. Так как , то ,

а ряд , члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем , сходится. Тогда на основании первого признака сравнения, ряд также сходится.

Пример 3. Используя второй признак сравнения, исследовать сходимость ряда: .

Решение. Имеем: .

Аналогично случаю, рассмотренному в замечании 3, данный ряд можно сравнить с рядом , где ; , который сходится, т.к. .

Применим второй признак сравнения. Для этого вычислим:

.

Так как ряд сходится, то по второму признаку сравнения сходится и ряд .

Пример 4. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда:

.

Решение. Имеем:

.

Тогда

Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 5. С помощью признакаКошиисследовать сходимость ряда

.

Решение. Имеем:

Тогда

Следовательно, по признаку Коши исследуемый ряд расходится.