Понятие множества

Понятие множества – одно из основных первичных понятий современной математики, поэтому оно не имеет формального определения. Оно возникло как абстракция того факта, что предметы и явления материального мира существуют не изолированно, а в составе совокупностей. Можно говорить о множестве студентов в аудитории, множестве точек на плоскости, множестве рациональных чисел и т.д.

Каждое множество состоит из элементов. В зависимости от числа элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Например, множество натуральных чисел содержит бесконечное число элементов, а множество сторон многоугольника состоит из конечного числа элементов. Конечные множества могут состоять из одного или нескольких элементов. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается знаком Ø.

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например: . Элементы множеств обозначаются строчными латинскими буквами, например: a, b, c, …, x. Для записи множества используют фигурные скобки, а элементы множества отделяют друг от друга запятыми (точками с запятой).

Пример 1.1. – конечное множество натуральных делителей числа 12.

Пример 1.2. – конечное множество, состоящее из четырех букв f, g, h и q.

Пример 1.3. – бесконечное множество натуральных чисел.

Пример 1.4. Пустым является множество действительных корней уравнения .

Задать множество – значит указать каким-либо способом, из каких элементов оно состоит. Можно задать множество перечислением всех его элементов, как в вышеуказанных примерах, или указать общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Пример 1.5. W – множество всех белых медведей.

Пример 1.6. U – множество всех целых чисел, делящихся на 3 без остатка: .

Говоря об определенном множестве, мы предполагаем, что каждый объект x либо входит в рассматриваемое множество, либо не входит в него. То обстоятельство, что объект x принадлежит множеству A, обозначается знаком . Запись означает, что x не является элементом A.

Элементы, из которых состоит данное множество, сами могут быть множествами. Например, множество студентов дневного отделения философско-социологического факультета состоит из трех элементов: группа социологов, группа философов и группа психологов; в свою очередь, каждая группа является множеством студентов.

Два множества A и B называются равными, если каждый элемент множества A является элементом множества B и, наоборот, каждый элемент множества B является элементом множества A.

Пример 1.7. , B – множество корней уравнения . Эти множества равны.