Доказательство. 1) 2). Пусть , , − ортонормированный базис Rn, т

1) 2). Пусть ,…, − ортонормированный базис Rⁿ, т. е.

= 0, если ,

= 1,

Так как из условия 1) теоремы следует, что для каждой пары векторов , из пространства Rⁿ, то

если ,

Отсюда вытекает, что является ортонормированной системой векторов и, значит, она линейно независимая. Так как эта система содержит n векторов, то из теоремы 1.5 следует, что базис Rⁿ.

2) 3). Рассмотрим диагональную систему векторов , которая является ортонормированным базисом Rⁿ. Из условия 2) теоремы получаем, что ортонормированный базис Rⁿ. Так как из определения матрицы линейного преобразования следует , то – ортонормированная система векторов.

3) 1). Пусть и – произвольная пара векторов пространства Rⁿ. Тогда

, (14)

,

.

По условию 3) теоремы, система векторов является ортонормированной. Теперь из свойства 3 [1. §7] ортогональных систем векторов получаем, что

. (15)

Из сопоставления соотношений (14) и (15) вытекает равенство

,

т. е. ортогональность линейного преобразования ■