Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Доказательство. 1) 2). Пусть , , − ортонормированный базис Rn, т



1) 2). Пусть ,…, − ортонормированный базис Rn, т. е.

= 0, если ,

= 1,

Так как из условия 1) теоремы следует, что для каждой пары векторов , из пространства Rn, то

если ,

Отсюда вытекает, что является ортонормированной системой векторов и, значит, она линейно независимая. Так как эта система содержит n векторов, то из теоремы 1.5 следует, что базис Rn.

2) 3). Рассмотрим диагональную систему векторов , которая является ортонормированным базисом Rn. Из условия 2) теоремы получаем, что ортонормированный базис Rn. Так как из определения матрицы линейного преобразования следует , то – ортонормированная система векторов.

3) 1). Пусть и – произвольная пара векторов пространства Rn. Тогда

, (14)

,

.

По условию 3) теоремы, система векторов является ортонормированной. Теперь из свойства 3 [1. §7] ортогональных систем векторов получаем, что

. (15)

Из сопоставления соотношений (14) и (15) вытекает равенство

,

т. е. ортогональность линейного преобразования





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 157 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...