Доказательство. 1 2. Дано, что . Для каждой пары векторов , и

1 2. Дано, что . Для каждой пары векторов , из пространства Rⁿ имеем

Отсюда следует, что .

2 3. Дано, что для каждой пары векторов из пространства Rⁿ. Теперь имеем

3 1. Дано, что элементы матрицы связаны соотношениями .

Отсюда следует, что , т. е. . Из этого равенства получаем следующую цепочку следствий: . ■

Квадратная матрица порядка называется симметрической, если . Из теоремы 3.18 следует, что симметрические матрицы и только они являются матрицами симметрических преобразований.

□ Теорема 3.19. Если – симметрическая, а – ортогональная матрицы, то – симметрическая матрица.

Доказательство. По условию , а из свойств ортогональных матриц вытекает равенство . Утверждение теоремы следует из следующей цепочки равенств:

,

т. е. и, значит, матрица – симметрическая. ■