Ортогональные преобразования

Линейное преобразование называется ортогональным, если для каждой пары векторов из пространства Rⁿ выполняется равенство

Следующая теорема иногда облегчает доказательство ортогональности линейного преобразования.

□ Теорема 3.14. Линейное преобразование будет ортогональным тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) , т. е. преобразование не изменяет длины векторов;

2) , т. е. преобразование не изменяет углы между векторами.

Необходимость вытекает из следующих равенств:

Достаточность. Ортогональность преобразования следует из следующей цепочки равенств:

. ■

В следующей теореме, характеризующей ортогональные преобразования, содержится, в частности, критерий, которому должны удовлетворять матрицы ортогональных преобразований.

□ Теорема 3.15. Рассмотрим линейное преобразование . Тогда следующие условия равносильны:

1) линейное преобразование ортогонально;

2) линейное преобразование переводит ортонормированный базис пространств Rⁿ в ортонормированный базис, т. е. если ,…, – ортонормированный базис, то – ортонормированный базис пространства Rⁿ;

3) столбцы матрицы образуют ортонормированную систему векторов.